Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty ln n cdot(x-5)^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 5:
sumn=1^inftyln(n)n+1,(x-5)^n
Para resolver, vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio R e depois examinar a convergência nos pontos x=5pm R.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão a an=ln(n)n+1(x-5)^n:
gl|an+1angr| =ln(n+1)/(n+2),lvert x-5rvert^n+1ln(n)/(n+1),lvert x-5rvert^n =ln(n+1)ln(n)cdotn+1n+2cdotlvert x-5rvert
Fazendo ntoinfty, cada fração tende a 1, logo o limite do quociente é lvert x-5rvert. Pelo Teste da Razão, converge se
lvert x-5rvert<1
Portanto, o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Analisamos os extremos do intervalo (5-R,5+R)=(4,6).
Caso x=4:
sumn=1^inftyln(n)n+1(-1)^n
Os termos bn=ln(n)/(n+1) satisfazem limntoinftybn=0 e são decrescentes para n grande. Pelo Teste Alternante de Leibniz, a série converge condicionalmente.
Caso x=6:
sumn=1^inftyln(n)n+1
Como ln(n)n+1simln(n)n e sumln(n)/n diverge (pelo Teste da Integral ou Comparação), esta série diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [4,6), com convergência condicional em x=4 e divergência em x=6.

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