Encontre o raio e o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências centrada em 5:
Para resolver, vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio e depois examinar a convergência nos pontos .
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão a :
Fazendo ntoinfty, cada fração tende a 1, logo o limite do quociente é lvert x-5rvert. Pelo Teste da Razão, converge se
lvert x-5rvert<1
Portanto, o raio de convergência é
R=1
Passo 3
Analisamos os extremos do intervalo (5-R,5+R)=(4,6). Caso x=4:
sumn=1^inftyln(n)n+1(-1)^n
Os termos bn=ln(n)/(n+1) satisfazem limntoinftybn=0 e são decrescentes para n grande. Pelo Teste Alternante de Leibniz, a série converge condicionalmente.
Caso x=6:
sumn=1^inftyln(n)n+1
Como ln(n)n+1simln(n)n e sumln(n)/n diverge (pelo Teste da Integral ou Comparação), esta série diverge.
Resposta
O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é [4,6), com convergência condicional em x=4 e divergência em x=6.