Para cada série, sendo
a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado fornece a série infinita cuja general term é
e diz que
é a sequência das somas parciais. Precisamos:
- Obter uma fórmula para
(a soma parcial até o termo ) em termos de . - Determinar se a série infinita
é convergente ou divergente. - Se for convergente, encontrar a soma da série.
Informações relevantes dadas:
- A general term (termo genérico) é
para . - A sequência das somas parciais
é .
Nada mais é dado.
Passo 2
Vamos trabalhar a decomposição em frações parciais do termo geral, porque isso costuma transformar termos racionais em diferença de termos mais simples — e aí pode aparecer telescopia (cancelamentos sucessivos). Seja o termo geral
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Passo 3
Desenvolvendo o lado direito em termos de
Como a igualdade vale para todo
, igualamos coeficientes do polinômio em
:
Da primeira equação vem
.]
Passo 4
Substituindo
e
na decomposição, obtemos
Esse é um formato do tipo “diferença de duas frações” que sugere telescopia ao somar para vários
.
Passo 5
Agora escrevemos a soma parcial
(vou usar
como limite superior das somas parciais):
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam em pares:
aparece com sinal negativo e positivo, o mesmo para
. Só ficam o primeiro positivo e o último negativo. Então a soma dentro do parêntese vale
Multiplicando pelo fator
temos a fórmula fechada para a soma parcial:
Passo 6
Para decidir convergência da série infinita, calculamos o limite de
quando
. Note que
pois o denominador cresce sem limite. Portanto
Isso mostra que a sequência das somas parciais converge, logo a série converge, e sua soma é
.
Resposta
A série é convergente e