Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{(3 n+1)(3 n-2)}

Passo 1

O enunciado fornece a série infinita cuja general term é \dfrac{5}{(3n+1)(3n-2)} e diz que \{S_n\} é a sequência das somas parciais. Precisamos:
  • Obter uma fórmula para S_n (a soma parcial até o termo n) em termos de n.
  • Determinar se a série infinita \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{5}{(3n+1)(3n-2)} é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, encontrar a soma da série.
Informações relevantes dadas:
  • A general term (termo genérico) é \dfrac{5}{(3n+1)(3n-2)} para n=1,2,3,\dots.
  • A sequência das somas parciais S_n é S_n=\sum_{k=1}^{n} \dfrac{5}{(3k+1)(3k-2)}.
    Nada mais é dado.

Passo 2

Vamos trabalhar a decomposição em frações parciais do termo geral, porque isso costuma transformar termos racionais em diferença de termos mais simples — e aí pode aparecer telescopia (cancelamentos sucessivos). Seja o termo geral
a_n=\frac{5}{(3n-2)(3n+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{5}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (3n-2)(3n+1) obtemos a identidade
5 = A(3n+1)+B(3n-2).

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito em termos de n\), \[5 = (3A+3B)\,n + (A-2B).
Como a igualdade vale para todo n, igualamos coeficientes do polinômio em n:
\begin{cases} 3A+3B=0,\\[4pt] A-2B=5. \end{cases}
Da primeira equação vem A=-B\]. Substituindo na segunda: \[A-2(-A)=5 \quad\Rightarrow\quad 3A=5 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{5}{3}.\] Então \(B=-\dfrac{5}{3}.]

Passo 4

Substituindo A e B na decomposição, obtemos
\frac{5}{(3n-2)(3n+1)}=\frac{5}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right).
Esse é um formato do tipo “diferença de duas frações” que sugere telescopia ao somar para vários n.

Passo 5

Agora escrevemos a soma parcial S_n (vou usar n como limite superior das somas parciais):
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{5}{(3k-2)(3k+1)}=\frac{5}{3}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos para ver o cancelamento:
\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\right) &=\bigg(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\bigg) +\bigg(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\bigg) +\bigg(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\bigg)+\cdots +\bigg(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\bigg). \end{aligned}
Observa-se que todos os termos intermediários cancelam em pares: \tfrac{1}{4} aparece com sinal negativo e positivo, o mesmo para \tfrac{1}{7},\tfrac{1}{10},\dots,\tfrac{1}{3n-2}. Só ficam o primeiro positivo e o último negativo. Então a soma dentro do parêntese vale
1-\frac{1}{3n+1}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{5}{3} temos a fórmula fechada para a soma parcial:
S_n=\frac{5}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right).

Passo 6

Para decidir convergência da série infinita, calculamos o limite de S_n quando n\to\infty. Note que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n+1}=0,
pois o denominador cresce sem limite. Portanto
\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right)=\frac{5}{3}\cdot 1=\frac{5}{3}.
Isso mostra que a sequência das somas parciais converge, logo a série converge, e sua soma é \dfrac{5}{3}.

Resposta

S_n=\dfrac{5}{3}\left(1-\dfrac{1}{3n+1}\right)
A série é convergente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{(3n+1)(3n-2)}=\frac{5}{3}.

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