Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{\,n-1}}
e pede duas coisas:
Obter uma fórmula para a sequência das somas parciais S_{n} em termos de n.
Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; caso seja convergente, calcular sua soma.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
a_{n}=\frac{2}{5^{\,n-1}}.
Passo 2
Vamos olhar para a forma dos termos e escrever a_{n} de maneira que fique mais claro como somar. Note que podemos reescrever
Conclusão: a série é convergente e sua soma é \tfrac{5}{2}.
Resposta
S_{n}=\displaystyle \frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)\nA série é convergente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}}=\frac{5}{2}