Para cada série, sendo \left\{S_{n}\right\} a sequência das somas parciais, obtenha uma fórmula para S_{n} em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente e, em caso de convergência, encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{\,n-1}}
e pede duas coisas:
  1. Obter uma fórmula para a sequência das somas parciais S_{n} em termos de n.
  2. Determinar se a série infinita é convergente ou divergente; caso seja convergente, calcular sua soma.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
a_{n}=\frac{2}{5^{\,n-1}}.

Passo 2

Vamos olhar para a forma dos termos e escrever a_{n} de maneira que fique mais claro como somar. Note que podemos reescrever
a_{n}=2\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}.
Definimos então:
  • a como o primeiro termo da série (quando n=1),
  • r como a razão entre termos consecutivos.
Calculemos a e r:
a=a_{1}=2\left(\frac{1}{5}\right)^{0}=2,
e a razão r entre a_{n+1} e a_{n} é
r=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2\left(\frac{1}{5}\right)^{n}}{2\left(\frac{1}{5}\right)^{n-1}}=\frac{1}{5}.
Então os termos têm a forma a, ar, ar^{2},\dots,ar^{n-1} com a=2 e r=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Agora vamos deduzir a fórmula geral para a soma parcial S_{n}. Seja
S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{\,n-1}.
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots+ar^{\,n}.
Subtraindo as duas expressões (isto é, S_{n}-rS_{n}) cancelam-se muitos termos e ficamos com
S_{n}-rS_{n}=a-ar^{\,n}.
Fatorando S_{n}(1-r)=a(1-r^{\,n}). Como r\neq 1, isolamos S_{n}:
S_{n}=\frac{a(1-r^{\,n})}{1-r}.
Aqui:
  • a é o primeiro termo,
  • r é a razão,
  • r^{\,n} é a potência que aparece ao cortar a soma por subtração.
Essa é a fórmula padrão das somas parciais de uma soma geométrica finita.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com a=2 e r=\tfrac{1}{5}, temos
S_{n}=\frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{5}}.
Simplificando o denominador 1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}, obtemos
S_{n}=2\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{5})^{n}}{\tfrac{4}{5}}=2\cdot\frac{5}{4}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr).
Podemos também escrever essa expressão de forma expandida:
S_{n}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Observação didática: a expressão mostra que S_{n} é a soma que tende a um limite quando o termo \left(\tfrac{1}{5}\right)^{n} tende a zero.

Passo 5

Para decidir convergência, examinamos o limite de S_{n} quando n\to\infty. Como \left|\tfrac{1}{5}\right|<1, temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}S_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{5}{2}.
Conclusão: a série é convergente e sua soma é \tfrac{5}{2}.

Resposta

S_{n}=\displaystyle \frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)\nA série é convergente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}}=\frac{5}{2}

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