Para cada uma das séries abaixo, analise se a mesma converge o diverge.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n^{2}+1}{3 n^{2}+5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{n^{2}+1}{3\,n^{2}+5}\Bigr)^{n}
converge ou diverge. Como os termos são positivos, vamos usar o Teste da Raiz (ou Teste de Cauchy).

Passo 2

O Teste da Raiz diz que, se definirmos a_{n} = \bigl(\tfrac{n^{2}+1}{3n^{2}+5}\bigr)^{n}, então calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
e concluímos:
- se L<1, a série converge;
- se L>1, a série diverge;
- se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos achar
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{n^{2}+1}{3\,n^{2}+5}.
Agora, ao fazermos n\to\infty,
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}+1}{3\,n^{2}+5} = \frac{1}{3}.
Como \tfrac{1}{3}<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados