\lim _{x \rightarrow-4}(|x+4|-2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -4}\bigl(|x+4|-2x\bigr).
O conteúdo aqui é limite de função com valor absoluto, então vamos usar a definição em partes de |x+4| para x à esquerda e à direita de -4.

Passo 2

Definimos em bloco a expressão de |x+4|\): \[|x+4| = \begin{cases} -(x+4), & x < -4,\\\ x+4, & x \ge -4. \end{cases}
Logo, para x< -4\] temos \[|x+4|-2x = \bigl[-(x+4)\bigr] - 2x = -x - 4 - 2x = -3x - 4,\] e para \(x>-4 temos
|x+4|-2x = (x+4) - 2x = -x + 4.

Passo 3

Vamos ao limite pela esquerda, x\to -4^-. Aí usamos a forma f(x)=-3x-4, então
\lim_{x\to -4^-}\bigl(|x+4|-2x\bigr) = \lim_{x\to -4^-}(-3x-4) = -3(-4)-4 = 12 - 4 = 8.

Passo 4

Agora o limite pela direita, x\to -4^+. Usamos f(x)=-x+4, logo
\lim_{x\to -4^+}\bigl(|x+4|-2x\bigr) = \lim_{x\to -4^+}(-x+4) = -(-4) + 4 = 4 + 4 = 8.

Passo 5

Como os limites laterais coincidem 8 e 8, o limite geral existe e vale 8.

Resposta

8

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