Exercício 6. Dadas \vec{u}(t)=t^{2} \vec{i}-3 t \vec{k}, \vec{v}(t)= -4 t^{3} \vec{j}+(t+1) \vec{k} e \vec{w}(t)=3 t^{2} \vec{i}+t \vec{j}-t^{3} \vec{k}
[\vec{u} \times(\vec{v}+\vec{w})]^{\prime}

Passo 1

O enunciado pede o derivado em função de t do produto vetorial
\vec{u}(t)\times\bigl(\vec{v}(t)+\vec{w}(t)\bigr).
Para isso usamos a regra do produto vetorial para derivadas:
\frac{d}{dt}\bigl(\vec{a}(t)\times\vec{b}(t)\bigr) = \vec{a}'(t)\times\vec{b}(t)+\vec{a}(t)\times\vec{b}'(t).

Passo 2

Calculemos primeiro
\vec{v}(t)+\vec{w}(t) = (-4t^3)\,\vec{j}+(t+1)\,\vec{k} +3t^2\,\vec{i}+t\,\vec{j}-t^3\,\vec{k},
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\vec{v}+\vec{w} =3t^2\,\vec{i}+(-4t^3+t)\,\vec{j}+(-t^3+t+1)\,\vec{k}.
As derivadas envolvidas são
\vec{u}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t^2\,\vec{i}-3t\,\vec{k}\bigr) =2t\,\vec{i}-3\,\vec{k},
(\vec{v}+\vec{w})'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(3t^2\,\vec{i}+(-4t^3+t)\,\vec{j}+(-t^3+t+1)\,\vec{k}\bigr) =6t\,\vec{i}+(-12t^2+1)\,\vec{j}+(-3t^2+1)\,\vec{k}.

Passo 3

Aplique a primeira parte da regra:
\vec{u}'\times(\vec{v}+\vec{w}) =(2t\,\vec{i}-3\,\vec{k}) \times \bigl(3t^2\,\vec{i}+(-4t^3+t)\,\vec{j}+(-t^3+t+1)\,\vec{k}\bigr).
Calculando o determinante, obtemos
\vec{u}'\times(\vec{v}+\vec{w}) =(-12t^3+3t)\,\vec{i}+(2t^4-11t^2-2t)\,\vec{j}+(-8t^4+2t^2)\,\vec{k}.

Passo 4

Aplique a segunda parte da regra:
\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})' =(t^2\,\vec{i}-3t\,\vec{k}) \times \bigl(6t\,\vec{i}+(-12t^2+1)\,\vec{j}+(-3t^2+1)\,\vec{k}\bigr).
Novamente fazendo o determinante, resulta
\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})' =(-36t^3+3t)\,\vec{i}+(3t^4-19t^2)\,\vec{j}+(-12t^4+t^2)\,\vec{k}.

Passo 5

Somando as duas parcelas da derivada do produto vetorial:
\frac{d}{dt}\bigl[\vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})\bigr] =\bigl(-48t^3+6t\bigr)\,\vec{i} +\bigl(5t^4-30t^2-2t\bigr)\,\vec{j} +\bigl(-20t^4+3t^2\bigr)\,\vec{k}.

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl[\vec{u}(t)\times(\vec{v}(t)+\vec{w}(t))\bigr] =(-48t^3+6t)\,\vec{i}+(5t^4-30t^2-2t)\,\vec{j}+(-20t^4+3t^2)\,\vec{k}.

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