Para cada uma das séries abaixo, determine os valores de x para os quais a série converge. Em caso de convergência, calcule a soma da série. (Dica: cada série tem a forma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica sum a r^n converge se e somente se |r|<1, e sua soma é a1-r.)
sumn=0^infty (x+3)^n2^n

Passo 1

O enunciado pede a região de convergência em x e a soma da série
sumn=0^infty (x+3)^n2^n
Reconhecemos que é uma série geométrica, pois cada termo é da forma a,r^n.

Passo 2

Vamos escrever a série no formato padrão da geométrica. Note que
(x+3)^n2^n =l(x+32r)^n
Logo a=1 (o termo inicial) e
r=x+32
Sabemos que a série geométrica converge se e somente se lvert rrvert<1. Assim,
l|x+32r|<1 Longrightarrow |x+3|<2 Longrightarrow -2<x+3<2 Longrightarrow -5<x< -1

Passo 3

Quando lvert rrvert<1 a soma da série é
sumn=0^inftyr^n=11-r
Aqui r=(x+3)/2, logo
sumn=0^infty(x+3)^n2^n =11 - x+32 =12-(x+3)2 =22 - x - 3 =2-1 - x =-2x+1

Resposta

A série converge para
-5<x< -1,
e, nesse intervalo,
sumn=0^infty(x+3)^n2^n =-2x+1

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