Para cada uma das séries abaixo, determine os valores de para os quais a série converge. Em caso de convergência, calcule a soma da série. (Dica: cada série tem a forma de uma série geométrica. Lembre-se que uma série geométrica converge se e somente se , e sua soma é .)
Passo 1
O enunciado pede a região de convergência em e a soma da série
Reconhecemos que é uma série geométrica, pois cada termo é da forma .
Passo 2
Vamos escrever a série no formato padrão da geométrica. Note que
Logo (o termo inicial) e
Sabemos que a série geométrica converge se e somente se . Assim,
Passo 3
Quando lvert rrvert<1 a soma da série é
sumn=0^inftyr^n=11-r
Aqui r=(x+3)/2, logo
sumn=0^infty(x+3)^n2^n =11 - x+32 =12-(x+3)2 =22 - x - 3 =2-1 - x =-2x+1