(2,0) Dado n in N tal que n >= 2, resolva a equação abaixo:
y^prime+n y=y^n

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y' + n,y = y^n,
sendo ninN e n>=2. O conteúdo é equação de variáveis separáveis (ou Bernoulli) e vamos usar separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Reescrevemos a derivada isolando y':
y' = y^n - n,y = yl(y^n-1-nr)
Isso mostra que podemos separar variáveis na forma
dyy(y^n-1-n) = dx

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Escrevemos
1y(y^n-1-n) = Ay + B,y^n-2y^n-1-n
Igualando numeradores:
1 = A(y^n-1-n) + B,y^n-1 = (A+B)y^n-1 - An
Para anular o termo em y^n-1 e obter constante 1, temos
A+B=0, -An=1 implies A=-tfrac1n,;B=tfrac1n

Passo 4

Agora integramos cada termo:
integraldyy(y^n-1-n) = integrall(-1n1y + 1ny^n-2y^n-1-nr)dy
O primeiro é direto:
-1nintegraldyy = -1nln|y|
No segundo usamos u=y^n-1-n, então du=(n-1)y^n-2dy:
1nintegraly^n-2dyy^n-1-n = 1ncdot1n-1integralduu = 1n(n-1)ln|y^n-1-n|

Passo 5

Somando e igualando a x+C:
-1nln|y| + 1n(n-1)ln|y^n-1-n| = x + C
Multiplicando por n(n-1):
-(n-1)ln|y| + ln|y^n-1-n| = n(n-1)x + C'
Reagrupando num só logaritmo:
lnl|y^n-1-ny^n-1r| = n(n-1)x + C'

Passo 6

Exponenciando e chamando a constante geral de K:
1 - n,y^-(n-1) = K e^n(n-1)x
Isolando y^-(n-1) e invertendo:
y^-(n-1) = 1 - K e^n(n-1)xn Longrightarrow y^n-1 = n1 - K e^n(n-1)x

Passo 7

Finalmente, tirando a potência 1/(n-1), obtemos a solução geral:
y(x) = l(n1 - K e^n(n-1)xr)^!1/(n-1),
onde K é a constante de integração.

Resposta

y(x)=(n1 - K e^n(n-1)x)^1/(n-1), KinR

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