(2,0) Resolva a equação diferencial abaixo:
d yd x=-x^3+3 x^2 y+y^3x^3+3 x y^2+y^3

Passo 1

A equação diferencial dada é dydx=-x^3+3x^2y+y^3x^3+3xy^2+y^3. Isso sugere escrevê-la na forma diferencial P(x,y),dx+Q(x,y),dy=0, onde vamos precisar reconhecer e usar o conceito de EDO exata.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x3+3x2y+y^3
Q(x,y)=x3+3xy2+y^3
Para verificar exatidão, calculamos
partial Ppartial y=3x^2+3y^2
e
partial Qpartial x=3x^2+3y^2.
Como são iguais, o diferencial é exato.

Passo 3

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=P. Integramos em relação a x:
F(x,y)=integral(x^3+3x^2y+y^3),dx=x^44+x^3y+xy^3+g(y)
Depois diferenciamos em relação a y e igualamos a Q:
partial Fpartial y=x^3+3xy^2+g'(y)=Q=x^3+3xy^2+y^3
Logo g'(y)=y^3 e g(y)=y^44.

Passo 4

A constante de integração dá a solução implícita
F(x,y)=x^44+x^3y+xy^3+y^44=C
Multiplicando por 4 para simplificar, obtemos a relação
x^4+4x^3y+4xy^3+y^4=,K
que é a solução geral da EDO.

Resposta

x^4+4x^3y+4xy^3+y^4=K

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