Resolva a equação diferencial abaixo:
Passo 1
A equação diferencial dada é
. Isso sugere escrevê-la na forma diferencial
, onde vamos precisar reconhecer e usar o conceito de EDO exata.
Passo 2
Identificamos
P(x,y)=x3+3x2y+y^3
Q(x,y)=x3+3xy2+y^3
Para verificar exatidão, calculamos
e
.
Como são iguais, o diferencial é exato.
P(x,y)=x3+3x2y+y^3
Q(x,y)=x3+3xy2+y^3
Para verificar exatidão, calculamos
e
Como são iguais, o diferencial é exato.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
. Integramos em relação a
:
Depois diferenciamos em relação a
e igualamos a
:
Logo
e
.
Passo 4
A constante de integração dá a solução implícita
Multiplicando por 4 para simplificar, obtemos a relação
que é a solução geral da EDO.