Questão 1 (5 pt) Dado
, calcule sua integral na região
do primeiro octante delimitada por cima pelo plano
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral tripla
onde
é a região do primeiro octante (ou seja,
,
,
) delimitada por
.
Conteúdo: integrais múltiplas (triplas) e Teorema de Fubini.
O que vamos precisar:
Conteúdo: integrais múltiplas (triplas) e Teorema de Fubini.
O que vamos precisar:
- Entender que uma integral tripla acumula o valor de
em todo o volume . - Usar o Teorema de Fubini para escrever
como iteradas de integrais simples. - Determinar corretamente os limites de integração para
, e depois .
Passo 2
Teoria básica: o Teorema de Fubini nos diz que, se
é contínua em
, podemos calcular
como
Passo 3
Definindo os limites de integração:
- Como estamos no primeiro octante, sempre
. - A superfície
dá .
Logo, para cada parcom e , o varia de até . - Para
, projetamos no plano : isso é , com fixo, dá . - Finalmente,
vai de até .
Passo 4
Escrevendo a integral iterada segundo a ordem
:
Passo 5
Integral em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Dentro dessa integral simples,
Logo a integral em
dá
Passo 7
Fica então só integrar em
:
Calculando termo a termo:
Somando:
Multiplicando por
: