Questão 1 (5 pt) Dado f(x, y, z)=x^2, calcule sua integral na região E do primeiro octante delimitada por cima pelo plano x+y+z=2.
N^0: 2024000529

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE x^2 ,dV
onde E é a região do primeiro octante (ou seja, x>=0, y>=0, z>=0) delimitada por x+y+z=2.
Conteúdo: integrais múltiplas (triplas) e Teorema de Fubini.
O que vamos precisar:
  • Entender que uma integral tripla acumula o valor de f(x,y,z) em todo o volume E.
  • Usar o Teorema de Fubini para escrever integral triplaE x^2,dV como iteradas de integrais simples.
  • Determinar corretamente os limites de integração para z, y e depois x.

Passo 2

Teoria básica: o Teorema de Fubini nos diz que, se f é contínua em E, podemos calcular
integral triplaE f(x,y,z),dV
como
integralx=min^x=max gl[integraly=min(x)^y=max(x) l(integralz=min(x,y)^z=max(x,y) f(x,y,z),dzr),dygr],dx

Passo 3

Definindo os limites de integração:
  • Como estamos no primeiro octante, sempre x,y,z>=0.
  • A superfície x+y+z=2 z = 2 - x - y.
    Logo, para cada par (x,y) com x>=0 e y>=0, o z varia de 0 até 2 - x - y.
  • Para y, projetamos no plano z=0: isso é x+y<=2, com x fixo, dá 0<= y<= 2-x.
  • Finalmente, x vai de 0 até 2.

Passo 4

Escrevendo a integral iterada segundo a ordem ,dz,dy,dx:
integral triplaE x^2,dV = integralx=0^2 !! integraly=0^2-x !! integralz=0^2-x-y x^2 ,dz,dy,dx

Passo 5

Integral em z:
integralz=0^2-x-y x^2,dz = x^2l[zr]0^2-x-y = x^2(2 - x - y)

Passo 6

Agora integramos em y:
integraly=0^2-x x^2(2 - x - y),dy = x^2integral0^2-xl((2-x)-yr),dy
Dentro dessa integral simples,
integral0^2-x l((2-x)-yr),dy =l[(2-x)y - tfracy^22r]0^2-x =(2-x)(2-x) - tfrac(2-x)^22 =tfrac(2-x)^22
Logo a integral em y
x^2cdot (2-x)^22 =x^2(2-x)^22

Passo 7

Fica então só integrar em x:
integralx=0^2 x^2(2-x)^22,dx =12integral0^2(x^2(4 -4x + x^2)),dx =12integral0^2(4x^2 -4x^3 + x^4),dx
Calculando termo a termo:
integral0^24x^2,dx = 4cdot2^33= 323, integral0^2-4x^3,dx = -4cdot2^44=-16, integral0^2x^4,dx = 2^55=325
Somando:
323 -16 + 325 = 160 -240 +9615 = 1615
Multiplicando por tfrac12:
12cdot1615 = 815

Resposta

boxed815

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