(1 ponto cada item) Calcule o limite ou prove sua inexistência.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de função de duas variáveis ou provar que ele não existe:
Temos uma função de
variáveis
dois
e queremos
avaliar
o limite
quando (x,y)→(0,0)
do quociente
.
O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar a estratégia de aproximação por retas.
Temos uma função de
variáveis
dois
e queremos
avaliar
o limite
quando (x,y)→(0,0)
do quociente
O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar a estratégia de aproximação por retas.
Passo 2
Primeiro, testamos a substituição direta para ver se obtemos um valor concreto. Substituindo
e
no numerador e denominador, temos
numerador =
e denominador =
, então obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o limite diretamente e precisamos de outra abordagem.
numerador =
Passo 3
Para verificar se o limite depende do caminho de aproximação, aproximamos
de
ao longo de retas do tipo
, onde
é um parâmetro constante. Substituindo
em
, obtemos:
Fatorando
no denominador e cancelando, fica:
Passo 4
A expressão final
depende de
. Por exemplo, para
o valor é 0, e para
o valor é
. Como diferentes retas dão limites diferentes, o limite não é único e portanto não existe.
Resposta
O limite não existe.