(1 ponto cada item) Calcule o limite ou prove sua inexistência.
lim (x, y) (0,0) 3 x yx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de função de duas variáveis ou provar que ele não existe:
Temos uma função de
variáveis
dois
e queremos
avaliar
o limite
quando (x,y)→(0,0)
do quociente
3xyx^2+2y^2.
O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e vamos usar a estratégia de aproximação por retas.

Passo 2

Primeiro, testamos a substituição direta para ver se obtemos um valor concreto. Substituindo
x=0 e
y=0 no numerador e denominador, temos
numerador =
3·0·0=0 e denominador =
0^2+2·0^2=0, então obtemos a forma indeterminada
0/0. Isso significa que não podemos concluir o limite diretamente e precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Para verificar se o limite depende do caminho de aproximação, aproximamos
(x,y) de
(0,0) ao longo de retas do tipo
y=m x, onde
m é um parâmetro constante. Substituindo
y=mx em
3xyx^2+2y^2, obtemos:
3x(mx)x^2+2(m x)^2 = 3m x^2x^2+2m^2x^2
Fatorando
x^2 no denominador e cancelando, fica:
3m x^2x^2(1+2m^2) = 3m1+2m^2

Passo 4

A expressão final
3m1+2m^2 depende de
m. Por exemplo, para
m=0 o valor é 0, e para
m=1 o valor é
3/(1+2)=1. Como diferentes retas dão limites diferentes, o limite não é único e portanto não existe.

Resposta

O limite não existe.

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