Para cada uma das séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembre-se de testar os extremos do intervalo. (Use o Teste da Razão).
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n \cdot 5^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em x_{0}=3
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^{n}}{n\cdot 5^{n}}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois testar os extremos x=-2 e x=8.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão à sequência dos termos
a_{n} = \frac{(x-3)^{n}}{n\,5^{n}}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)\,5^{n+1}}\cdot\frac{n\,5^{n}}{(x-3)^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x-3|}{5}\cdot\frac{n}{n+1} =\frac{|x-3|}{5}.
Para convergência, queremos esse limite menor que 1, ou seja \tfrac{|x-3|}{5}<1.

Passo 3

Da condição \tfrac{|x-3|}{5}<1 obtemos
|x-3|<5 \quad\Longrightarrow\quad -5<x-3<5 \quad\Longrightarrow\quad -2<x<8.
Logo, o raio de convergência é
R = 5.

Passo 4

Agora testamos o extremo x=-2. Substituindo em a_{n},
(x-3)^{n} = (-2-3)^{n}=(-5)^{n},
ficando a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^{n}}{n\,5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série harmônica alternada. Por critério de Leibniz, ela converge (condicionalmente).

Passo 5

Testamos o outro extremo x=8. Substituindo,
(x-3)^{n} = (8-3)^{n}=5^{n},
a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5^{n}}{n\,5^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica pura e diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=5
Intervalo de convergência: \bigl[-2,\,8\bigr)

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