Partindo da série de potências para f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} :
Qual é o intervalo de convergência desta série?

Passo 1

O enunciado dá a série de potências para
f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}
e pede o intervalo de convergência. O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência de uma série de potências usando o teste da razão e depois checar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a a_n = (-1)^{n}x^{n}. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{(-1)^{n}x^{n}}\right| = |x|.
O critério diz que a série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Logo, o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Resta verificar os extremos:
Para x=1 a série fica \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n, que não converge (oscila).
Para x=-1 a série fica \sum_{n=0}^{\infty}1, que diverge porque os termos não tendem a zero.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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