Para cada uma das séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembre-se de testar os extremos do intervalo. (Use o Teste da Razão).
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(x+1)^{n}}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!\,(x+1)^{n}}{2^{n}},
que está centrada em x_{0}=-1. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que diz que a série converge se
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x+1)^{n+1}}{a_{n}(x+1)^{n}}\right|<1,
onde a_{n}=\tfrac{n!}{2^{n}}.

Passo 2

Vamos calcular
\left|\frac{a_{n+1}(x+1)^{n+1}}{a_{n}(x+1)^{n}}\right| =\left|\frac{\tfrac{(n+1)!}{2^{\,n+1}}\,(x+1)^{n+1}}{\tfrac{n!}{2^{n}}\,(x+1)^{n}}\right| =\frac{n+1}{2}\,\bigl|x+1\bigr|.
Tomando o limite quando n\to\infty, obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2}\,\bigl|x+1\bigr| =\begin{cases} 0,&\text{se }x+1=0,\\\ \infty,&\text{se }x+1\neq 0. \end{cases}

Passo 3

Para que o limite seja menor que 1 (condição de convergência pelo Teste da Razão), precisamos de x+1=0, isto é, x=-1. Para qualquer outro valor de x, o limite é infinito e a série diverge. Logo, o raio de convergência é R=0 e a única ponto de convergência é x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: apenas x=-1.

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