Para cada uma das séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembre-se de testar os extremos do intervalo. (Use o Teste da Razão). \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!(x+1)^{n}}{2^{n}}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!\,(x+1)^{n}}{2^{n}},
que está centrada em x_{0}=-1. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que diz que a série converge se
Para que o limite seja menor que 1 (condição de convergência pelo Teste da Razão), precisamos de x+1=0, isto é, x=-1. Para qualquer outro valor de x, o limite é infinito e a série diverge. Logo, o raio de convergência é R=0 e a única ponto de convergência é x=-1.
Resposta
Raio de convergência: R=0.
Intervalo de convergência: apenas x=-1.