Determine o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n^{2}}
. (Use o Teste da Razão).

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}x^{n}}{n^{2}}
e pede o raio R e o intervalo de convergência. O método sugerido é o Teste da Razão aplicado aos termos gerais de uma série de potências.

Passo 2

Seja a_n=\frac{(-1)^n}{n^2}. No teste da razão calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_n x^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\biggl|x\biggr|\frac{n^2}{(n+1)^2} =|x|\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} =|x|.
Pela condição de convergência do teste da razão, precisamos de |x|<1. Assim o raio de convergência é
R = 1.

Passo 3

Agora verificamos os extremos x=1 e x=-1.
Para x=1 a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}.
Como \sum 1/n^2 converge (série p com p=2>1), esta converge absolutamente em x=1.

Passo 4

Para x=-1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n(-1)^n}{n^2} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2},
que também converge (é a mesma série p com p=2).

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
[-1,1].

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