\operatorname{Lim}_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2} \qquad
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Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2}.
Este é um limite do tipo exponencial que relaciona-se à definição de e. Vamos usar a fatoração da potência para separar as partes que conhecemos.

Passo 2

Reescrevemos a expressão levantando a soma do expoente em dois fatores:
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}\cdot\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Analisamos os dois fatores separadamente:
  1. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e por definição do número e.
  2. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}=1^{2}=1.

Passo 4

Como o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos), temos
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =e\cdot1=e.

Resposta

\displaystyle e

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