Determine o raio e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n!}
. (Use o Teste da Razão).

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n!}
e pede o raio e o intervalo de convergência, usando o Teste da Razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
u_n = \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n!}.
Aplicando o Teste da Razão, calculamos
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{2^{n+1}\,\lvert x-1\rvert^{\,n+1}/(n+1)!}{2^{n}\,\lvert x-1\rvert^{\,n}/n!} = \frac{2\,\lvert x-1\rvert}{n+1}.

Passo 3

Observamos que, para todo x fixo,
\lim_{n\to\infty}\frac{2\,\lvert x-1\rvert}{n+1} = 0 < 1.
Então pelo Teste da Razão a série converge para qualquer valor de x.

Passo 4

Como a série converge para todo x\in\mathbb{R}, o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é toda a reta real.

Resposta

O raio de convergência é R = \infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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