Para cada uma das séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembre-se de testar os extremos do intervalo. (Use o Teste da Raiz).
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{3 n-1}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n+1}{3n-1}\Bigr)^{n}x^{n}.
O método sugerido é o Teste da Raiz, que nos permite achar o raio R pela fórmula
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|}<1
onde a_n=\bigl(\tfrac{n+1}{3n-1}\bigr)^n.

Passo 2

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos
\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|} = |x|\;\frac{n+1}{3n-1}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{3n-1}=\frac13,
segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|} = \frac{|x|}{3}.
Para convergência queremos \tfrac{|x|}{3}<1, ou seja |x|<3. Logo o raio de convergência é
R = 3.

Passo 3

Testando o extremo x=3, o termo geral fica
\Bigl(\frac{n+1}{3n-1}\Bigr)^{n}\,3^{n} = \biggl(\frac{3(n+1)}{3n-1}\biggr)^{n} = \Bigl(1+\frac{4}{3n-1}\Bigr)^{n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{4}{3n-1}\Bigr)^{n}=e^{4/3}\neq 0,
os termos não tendem a zero e a série diverge em x=3.

Passo 4

Testando o extremo x=-3, o termo geral é
\Bigl(\tfrac{n+1}{3n-1}\Bigr)^{n}(-3)^{n} = (-1)^{n}\Bigl(\tfrac{3(n+1)}{3n-1}\Bigr)^{n} = (-1)^{n}\Bigl(1+\frac{4}{3n-1}\Bigr)^{n}.
De novo
\lim_{n\to\infty}\bigl|(-1)^{n}(1+\tfrac{4}{3n-1})^{n}\bigr|=e^{4/3}\neq 0,
portanto os termos não vão a zero e a série diverge em x=-3.

Passo 5

Concluímos que a série converge apenas quando |x|<3 e diverge nos pontos finais. O intervalo de convergência é
(-3,3).

Resposta

Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: (-3,3)

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