Determine o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n+1}}. (Use o Teste da Raiz).

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n} x^{n}}{3^{n+1}}.
O conteúdo é o Teste da Raiz aplicado a séries de potências: se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o raio de convergência é
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.

Passo 2

Identificamos o coeficiente geral a_n = \frac{n^n}{3^{n+1}}. Vamos calcular
\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|} = \sqrt[n]{\frac{n^n}{3^{n+1}}}\,\bigl|x\bigr| = \frac{n}{3}\,3^{-1/n}\,\bigl|x\bigr|.

Passo 3

Tomando o limite quando n\to\infty\), temos \(3^{-1/n}\to1\) e \(n/3\to\infty\). Logo \[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n x^n\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3}\,\bigl|x\bigr| =\begin{cases} 0,&\text{se \(\,x=0,}\ \infty,&se \,x\neq0. \end{cases}]
Para x\neq0 o limite é maior que 1, então diverge; para x=0 converge trivialmente.

Passo 4

O raio de convergência R satisfaz
\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3}\;=\;\infty,
portanto R=0. Consequentemente, o único ponto de convergência é x=0.

Resposta

O raio de convergência é R = 0 e o intervalo de convergência é \{0\}.

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