Para cada uma das séries de potências abaixo, determine o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembre-se de testar os extremos do intervalo. (Use o Teste da Raiz).
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{(\ln n)^{n}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em -2:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(x+2)^{n}}{(\ln n)^{n}}.
O objetivo é determinar o raio de convergência R e o intervalo de convergência, usando o Teste da Raiz.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Raiz à n-ésima parte do termo geral. Seja
a_{n}(x)=\frac{(x+2)^{n}}{(\ln n)^{n}}.
Calculamos
\sqrt[n]{\bigl|a_{n}(x)\bigr|} = \frac{|x+2|}{\ln n}.

Passo 3

Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{|x+2|}{\ln n} =|x+2|\;\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n} =0.
Como 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para qualquer valor de x. Isso implica que o raio de convergência é infinito: R=\infty.

Passo 4

Como R=\infty, o intervalo de convergência é toda a reta real. Não há extremos a testar.

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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