Determine o raio e o intervalo de convergência da série
. (Cuidado: a potência é
).
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência. O conteúdo-chave é o critério da razão para séries de potências.
Passo 2
Definimos o termo geral
Usamos o critério da razão, calculando
Substituindo, temos
Passo 3
Tomando o limite quando
,
O critério da razão diz que converge se
, isto é
Logo o raio de convergência é
.
Passo 4
Agora testamos os extremos
e
. Em ambos casos
, então o termo geral fica
e a série
diverge (série harmônica).
Passo 5
Portanto, a série converge estritamente para
e diverge em
.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.