Determine o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{n \cdot 4^{n}}. (Cuidado: a potência é 2 n ).

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n\cdot4^{n}}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. O conteúdo-chave é o critério da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n}=\frac{x^{2n}}{n\,4^{n}}.
Usamos o critério da razão, calculando
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
Substituindo, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{x^{2(n+1)}}{(n+1)\,4^{\,n+1}}\;\bigg/\;\frac{x^{2n}}{n\,4^{n}} =\frac{x^{2}}{4}\,\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Tomando o limite quando n\to\infty,
L=\left|\frac{x^{2}}{4}\right|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\left|\frac{x^{2}}{4}\right|.
O critério da razão diz que converge se L<1, isto é
\left|\frac{x^{2}}{4}\right|<1 \quad\Longrightarrow\quad|x|<2.
Logo o raio de convergência é R=2.

Passo 4

Agora testamos os extremos x=2 e x=-2. Em ambos casos x^{2n}=4^{n}, então o termo geral fica
\frac{4^{n}}{n\,4^{n}}=\frac{1}{n},
e a série \sum1/n diverge (série harmônica).

Passo 5

Portanto, a série converge estritamente para |x|<2 e diverge em x=\pm2.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é (-2,2).

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