Para cada uma das séries a seguir determine uma expressão para a soma parcial
e, calcule
concluindo, assim, se a série converge ou diverge. (Dica: Utilize manipulações algébricas ou identidades conhecidas para simplificar
, e então avalie seu limite.)
Passo 1
Beleza, o problema é: determinar a soma parcial
e calcular
decidindo se a série
converge ou diverge. O tópico é séries numéricas e vamos usar a identidade da série da exponencial:
Passo 2
Primeiro, reforçando: fatoriais são definidos por
com
. E uma série muito conhecida em cálculo diz que
Isso é legal porque nos dá uma forma de somar termos com fatorial.
Passo 3
Reescreve
mudando o índice. Se
, então
e
. Ficamos com
A soma parcial da série de
até
é
Logo
Assim:
Passo 4
Aí é só pegar o limite. Quando
, sabemos que
Então
Como o limite existe e é finito, concluímos que a série converge e sua soma é
.