Para cada uma das séries a seguir determine uma expressão para a soma parcial sn e, calcule lim n infty sn concluindo, assim, se a série converge ou diverge. (Dica: Utilize manipulações algébricas ou identidades conhecidas para simplificar sn, e então avalie seu limite.)
sumn=1^infty 1(n+1)!

Passo 1

Beleza, o problema é: determinar a soma parcial
sn ;=;sumk=1^n 1(k+1)!
e calcular
limntoinfty sn,
decidindo se a série
sumk=1^infty 1(k+1)!
converge ou diverge. O tópico é séries numéricas e vamos usar a identidade da série da exponencial:
e ;=;summ=0^infty 1m!

Passo 2

Primeiro, reforçando: fatoriais são definidos por
m! ;=;mtimes(m-1)timescdotstimes1,
com 0! = 1. E uma série muito conhecida em cálculo diz que
summ=0^infty 1m! ;=;eapprox2,71828
Isso é legal porque nos dá uma forma de somar termos com fatorial.

Passo 3

Reescreve sn mudando o índice. Se m=k+1, então k=1to m=2 e k=nto m=n+1. Ficamos com
sn = sumk=1^n 1(k+1)! = summ=2^n+1 1m!
A soma parcial da série de e até m=n+1 é
summ=0^n+1 1m! = 10! + 11! + summ=2^n+11m! = 1 + 1 + summ=2^n+11m! = 2 + summ=2^n+11m!
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summ=2^n+1 1m! = summ=0^n+1 1m! ;-; 2
Assim:
sn = summ=0^n+1 1m! - 2

Passo 4

Aí é só pegar o limite. Quando ntoinfty, sabemos que
summ=0^n+1 1m! ;longrightarrow; e
Então
limntoinfty sn = e - 2
Como o limite existe e é finito, concluímos que a série converge e sua soma é e - 2.

Resposta

sn = sumk=1^n 1(k+1)! = summ=0^n+1 1m! - 2, limntoinfty sn = e - 2

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