Determine o valor da constante c que satisfaz cada uma das igualdades abaixo. (Dica: identifique a série como uma série geométrica, e utilize a fórmula da soma S=sumn=1^infty a r^n-1=a1-r, válida quando |r|<1.)
sumn=2^infty(1+c)^-n=2

Passo 1

O enunciado pede o valor de c tal que
sumn=2^infty(1+c)^-n=2
Este é um problema de séries geométricas infinitas; vamos reconhecer a soma na forma
sumk=0^inftya,r^k=a1-r, |r|<1

Passo 2

Reindexamos a soma definindo k=n-2. Quando n=2 temos k=0, e
(1+c)^-n=(1+c)^-(k+2)=(1+c)^-2,(1+c)^-k
Assim
sumn=2^infty(1+c)^-n =(1+c)^-2sumk=0^inftyl((1+c)^-1r)^k

Passo 3

Aqui a=(1+c)^-2 e r=(1+c)^-1. Pela fórmula da soma,
sumk=0^inftya,r^k =a1-r,
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sumn=2^infty(1+c)^-n =(1+c)^-21-(1+c)^-1

Passo 4

Simplificando o denominador:
1-(1+c)^-1 =(1+c)-11+c =c1+c
Portanto a soma vale
(1+c)^-21-(1+c)^-1 =1(1+c)^2cdot1+cc =1c(1+c)
Igualando a 2 obtemos
1c(1+c)=2

Passo 5

Isso leva à equação
c(1+c)=tfrac12 Longrightarrow c^2 + c - tfrac12 = 0
As raízes são
c=-1pmraiz1+22 =-1pmraiz32

Passo 6

Para convergência precisamos |r|<1 com r=(1+c)^-1, isto é |1+c|>1.
  • Para c=tfrac-1+raiz32 temos 1+c=tfrac1+raiz32>1, ok.
  • Para c=tfrac-1-raiz32 |1+c|<1, rejeitamos.

Resposta

c = -1 + raiz32

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