Para cada uma das séries a seguir determine uma expressão para a soma parcial sn e, calcule lim n infty sn concluindo, assim, se a série converge ou diverge. (Dica: Utilize manipulações algébricas ou identidades conhecidas para simplificar sn, e então avalie seu limite.)
sumn=0^infty ln (1+1n)

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede para encontrar uma fórmula para a soma parcial
sn = sumk=1^n lnl(1+1kr)
depois calcular limntoinftysn e decidir se a série converge ou não. O conteúdo aqui é séries numéricas e a ideia de “telescoping” usando identidade de logaritmos.

Passo 2

A identidade-chave é
ln!l(tfracabr)=ln(a)-ln(b)
Então cada termo fica
ln!l(1+tfrac1kr) =ln!l(tfrack+1kr) =ln(k+1)-ln(k)

Passo 3

Agora monta a soma parcial até n:
sn=sumk=1^nl[ln(k+1)-ln(k)r]
Escrevendo alguns termos:
(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+cdots+(ln(n+1)-ln n)
Quase tudo cancela em cadeia (é o “telescoping”).

Passo 4

Depois do cancelamento sobra só
sn = -ln(1) + ln(n+1) = ln(n+1),
já que ln(1)=0. Agora o limite:
limntoinftysn =limntoinftyln(n+1) =+infty

Resposta

sn = ln(n+1). Como limntoinftysn=+infty, a série diverge.

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