Escreva cada número decimal abaixo como uma fração. (Dica: escreva o número como uma soma infinita de potências de 10 e use a fórmula da soma da série geométrica.)
6, 254=6,254254254 ldots

Passo 1

O enunciado pede para transformar o decimal periódico
6,254=6,254254254ldots
em uma fração. Esse tema faz parte de “conversão de decimais periódicos em frações” e, para resolver, vamos precisar usar a ideia de soma infinita de termos de uma progressão geométrica (PG) e a sua fórmula de soma.

Passo 2

Primeiro, separa a parte inteira da parte decimal:
6,254 = 6 + 0,254

Passo 3

Agora escreve a parte decimal como soma infinita de potências de 10. Note que
0,254 = 254 times 10^-3,
0,000254 = 254 times 10^-6,
0,000000254 = 254 times 10^-9, e assim por diante.
Logo:
0,254 = sumk=1^infty 254cdot10^-3k

Passo 4

Lembra da fórmula da soma de uma PG infinita: se a razão r satisfaz |r|<1 e o primeiro termo é a, então
sumk=0^inftya,r^k = a1-r
Aqui, começamos do termo k=1, mas a gente pode ajustar:
sumk=1^inftya,r^k = a,r1-r

Passo 5

No nosso caso dá para pegar o primeiro termo direto como
a = 254cdot10^-3=2541000, r=10^-3=11000
Então
0,254 = sumk=0^inftyl(2541000r)l(11000r)^k = tfrac25410001-tfrac11000 = tfrac2541000tfrac9991000 = 254999

Passo 6

Basta somar com a parte inteira:
6 + 254999 = 6cdot999 + 254999 = 6248999

Resposta

boxed6248999

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