Escreva cada número decimal abaixo como uma fração. (Dica: escreva o número como uma soma infinita de potências de 10 e use a fórmula da soma da série geométrica.)
Passo 1
O enunciado pede para transformar o decimal periódico
6,254=6,254254254ldots
em uma fração. Esse tema faz parte de “conversão de decimais periódicos em frações” e, para resolver, vamos precisar usar a ideia de soma infinita de termos de uma progressão geométrica (PG) e a sua fórmula de soma.
Passo 2
Primeiro, separa a parte inteira da parte decimal:
6,254 = 6 + 0,254
Passo 3
Agora escreve a parte decimal como soma infinita de potências de 10. Note que
0,254 = 254 times 10^-3,
0,000254 = 254 times 10^-6,
0,000000254 = 254 times 10^-9, e assim por diante.
Logo:
0,254 = sumk=1^infty 254cdot10^-3k
Passo 4
Lembra da fórmula da soma de uma PG infinita: se a razão r satisfaz |r|<1 e o primeiro termo é a, então
sumk=0^inftya,r^k = a1-r
Aqui, começamos do termo k=1, mas a gente pode ajustar:
sumk=1^inftya,r^k = a,r1-r
Passo 5
No nosso caso dá para pegar o primeiro termo direto como