Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
Determine um fator integrante da forma h(x, y)=x^n y^m para a equação
y(y^2+1) d x+x(y^2-1) ln x d y=0
e resolva-a.

Passo 1

O enunciado pede para achar um fator integrante da forma h(x,y)=x^ny^m que torne exata a equação
yl(y^2+1r),dx ;+; xl(y^2-1r)ln x,dy ;=;0
e em seguida resolver a equação exata. O conteúdo empregado é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Chamando
M(x,y)=yl(y^2+1r), N(x,y)=xl(y^2-1r)ln x
e multiplicando por h(x,y)=x^ny^m, temos
M^*=hM = x^ny^m+1(y^2+1), N^*=hN = x^n+1y^m(y^2-1)ln x
A condição de exatidão é
partial M^*partial y = partial N^*partial x

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial M^*partial y = x^ny^ml((m+3)y^2 + (m+1)r),
partial N^*partial x = x^ny^m(y^2-1)l[1 + (n+1)ln xr]
Para eliminar o termo em ln x devemos ter n+1=0, ou seja n=-1. Igualando então os coeficientes livres em y obtém-se m=-2.
Portanto
h(x,y)=x^-1y^-2=1x,y^2

Passo 4

Multiplicando a equação original por h, obtemos a forma exata
M(x,y)=y(y^2+1)x,y^2=y^2+1x,y, N(x,y)=x(y^2-1)ln xx,y^2=y^2-1y^2ln x

Passo 5

Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = y^2+1x,y
Integrando em relação a x (tratando y como constante),
Psi(x,y) = integral y^2+1x,y,dx = y^2+1yintegral 1x,dx = y^2+1yln x + C(y)

Passo 6

Diferenciando Psi em relação a y e igualando a N(x,y):
partial Psipartial y = l(1 - 1y^2r)ln x + C'(y) stackrel!= y^2-1y^2ln x
Logo C'(y)=0, isto é C(y)=const.

Resposta

A solução implícita geral é
y^2+1y,ln x = C,
com C constante de integração.

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