Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
Determine um fator integrante da forma
para a equação
e resolva-a.
Determine um fator integrante da forma
e resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede para achar um fator integrante da forma
que torne exata a equação
e em seguida resolver a equação exata. O conteúdo empregado é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Chamando
e multiplicando por
, temos
A condição de exatidão é
Passo 3
Calculando as derivadas:
Para eliminar o termo em
devemos ter
, ou seja
. Igualando então os coeficientes livres em
obtém-se
.
Portanto
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos a forma exata
Passo 5
Procuramos
tal que
Integrando em relação a
(tratando
como constante),
Passo 6
Diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Logo
, isto é
.
Resposta
A solução implícita geral é
com
constante de integração.