Para cada um dos sinais abaixo, determine se ele é periódico, e o seu período fundamental
x(t)=sen^3(2 t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=sen^3(2t)
e pede para verificar se ele é periódico e, em caso afirmativo, determinar o seu período fundamental. O conteúdo aqui é análise de periodicidade de sinais contínuos e uso de identidades trigonométricas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
sen^3theta=3sentheta-sen(3theta)4
com theta=2t.

Passo 3

Substituindo em x(t), obtemos
x(t)=3sen(2t)-sen(6t)4,
ou seja, a soma de duas senóides.

Passo 4

Cada termo é periódico:
  • sen(2t) tem frequência angular omega1=2, logo período T1=2piomega1=2pi2=pi
  • sen(6t) tem frequência angular omega2=6, logo período T2=2piomega2=2pi6=pi3

Passo 5

O período fundamental da soma é o mínimo T0>0 tal que
T0=n1T1=n2T2
com n1,n2 inteiros. Como
T1T2=pipi/3=3
já temos T1=3T2, então o menor T0 é
T0=T1=pi

Resposta

x(t) é periódico e seu período fundamental é pi.

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