Quais dos seguintes vetores são combinação linear de V1=(4,2,-3), V2=(2,1,-1) e V3=(-2,-1,0)
U=(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão aqui é sobre combinações lineares de vetores, um tema da álgebra linear. Precisamos verificar se o vetor U = (1,1,1) pode ser formado combinando os vetores V1 = (4,2,-3) , V2 = (2,1,-1) e V3 = (-2,-1,0) . Para isso, vamos encontrar se existem coeficientes a , b e c tais que:
aV1 + bV2 + cV3 = U

Passo 2

Primeiro, vamos escrever essa combinação linear de forma explícita usando as coordenadas dos vetores:
a(4,2,-3) + b(2,1,-1) + c(-2,-1,0) = (1,1,1)

Passo 3

Agora, distribuímos os coeficientes a , b e c para cada componente do vetor:
(4a + 2b - 2c, , 2a + b - c, , -3a - b + 0c) = (1,1,1)

Passo 4

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
4a + 2b - 2c = 1 2a + b - c = 1 -3a - b = 1

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação, que é mais simples:
-3a - b = 1 Rightarrow b = -3a - 1

Passo 6

Substituímos b na segunda equação:
2a + (-3a - 1) - c = 1 - a - 1 - c = 1 - a - c = 2 Rightarrow c = -a - 2

Passo 7

Agora, substituímos b e c na primeira equação:
4a + 2(-3a -1) - 2(-a -2) = 1 4a -6a -2 + 2a +4 = 1 (4a -6a +2a) + (-2 +4) = 1 0a +2 = 1 2 = 1

Passo 8

Chegamos a uma contradição 2 = 1 , o que significa que não existe solução para o sistema. Portanto, não há valores de a , b e c que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

O vetor U = (1,1,1) não é uma combinação linear dos vetores V1 , V2 e V3 .

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