Para cada sistema dado encontre:
i) A forma matricial do sistema.
ii) O posto e a nulidade da matriz de coeficientes.
iii) - Os graus de liberdade do sistema.
iv) A caracterização do sistema.
v) O conjunto solução, se houver, na forma matricial.
vi) Obtenha o processo de escalonamento explicitando as operações elementares usadas.
vii) Explicite o sistema equivalente após redução.
e) 2 x+4 y-3 z+4 w=5
x+2 y-2 z+3 w=2
2 x+y-2 z+3 w=1
f)
5 x+10 y-8 z+11 w=12
c 3 x+2 y-z+2 w=4 3 x+3 y+3 z-3 w=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com um sistema que tem três equações e quatro incógnitas (x, y, z e w). A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares e matrizes. Para resolver tudo isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular o posto e a nulidade, descobrir os graus de liberdade, caracterizar o sistema, achar o conjunto solução, fazer o escalonamento da matriz e ver como fica o sistema após a redução. Vamos passo a passo!

Passo 2

i) Forma matricial do sistema
Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das incógnitas em uma matriz e igualar a uma matriz de resultados. As equações são:
2x + 4y - 3z + 4w = 5 x + 2y - 2z + 3w = 2 2x + y - 2z + 3w = 1
A matriz dos coeficientes A fica assim:
A = 2 & 4 & -3 & 4 1 & 2 & -2 & 3 2 & 1 & -2 & 3
E a matriz dos termos constantes b é:
b = 5 2 1
Então, o sistema na forma matricial é:
A cdot x = b

Passo 3

ii) Posto e nulidade da matriz de coeficientes
Agora, vamos encontrar o posto e a nulidade da matriz A . O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas após escalonarmos a matriz, e a nulidade é o número de variáveis menos o posto.
Vamos escalonar a matriz A :
A = 2 & 4 & -3 & 4 1 & 2 & -2 & 3 2 & 1 & -2 & 3
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o primeiro elemento das outras linhas.
  • Subtraia 12 da primeira linha da segunda:
R2 = R2 - 12R1 implies R2 = 0 & 0 & -0.5 & 1
  • Subtraia a primeira linha da terceira:
R3 = R3 - R1 implies R3 = 0 & -3 & 1 & -1
A matriz fica:
2 & 4 & -3 & 4 0 & 0 & -0.5 & 1 0 & -3 & 1 & -1
Agora, vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar:
2 & 4 & -3 & 4 0 & -3 & 1 & -1 0 & 0 & -0.5 & 1
Como temos três linhas não nulas, o posto posto(A) = 3 . A nulidade é dada por:
nulidade(A) = número de variáveis - posto(A) = 4 - 3 = 1 úá

Passo 4

iii) Graus de liberdade do sistema
Os graus de liberdade de um sistema linear correspondem ao número de variáveis livres, ou seja, aquelas que podem assumir qualquer valor. Nesse caso, a nulidade da matriz é 1, o que significa que temos 1 grau de liberdade. Portanto, podemos escolher um valor livre para uma das variáveis e expressar as outras em função dela.

Passo 5

iv) Caracterização do sistema
Para caracterizar o sistema, vamos verificar se ele é compatível ou incompatível, e se é determinado ou indeterminado.
  • Compatível: o sistema tem pelo menos uma solução.
  • Incompatível: o sistema não tem solução.
  • Determinado: o sistema tem solução única.
  • Indeterminado: o sistema tem infinitas soluções.
Como o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e ambos são iguais a 3, o sistema é compatível. Além disso, como a nulidade é 1 (mais de zero), o sistema é indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Passo 6

v) Conjunto solução na forma matricial
Vamos expressar a solução em termos de uma variável livre. Vamos escolher w = t , onde t pode ser qualquer número real.
A partir da matriz escalonada, temos:
  1. 0x + 0y - 0.5z + w = 1 Rightarrow -0.5z + w = 1 Rightarrow z = 2w - 2
  2. 0x -3y + z - w = -1 Rightarrow Substituindo z :
    -3y + (2w - 2) - w = -1 Rightarrow -3y + w - 2 = -1 Rightarrow -3y = 1 - w Rightarrow y = w - 13
  3. 2x + 4y -3z +4w =5 :
    Substituindo y e z :
    2x + 4(w - 13) -3(2w -2) +4w =5
    Simplificando:
    2x + 4w -43 -6w +6 +4w =5
    2x + 4w -43 -2w +6 =5
    Multiplicando por 3 para eliminar o denominador:
6x +4w -4 -6w +18 =15
6x -2w +14 =15
6x -2w =1
6x = 2w +1
x = 2w +16
Então, o conjunto solução é:
x = 2t +16 y = t - 13 z = 2t - 2 w = t
Ou na forma vetorial:
x = 26t + 16 13t - 13 2t - 2 t = 13t + 16 13t - 13 2t - 2 t

Passo 7

vi) Processo de escalonamento com operações elementares
Vamos detalhar as operações que fizemos para escalonar a matriz A :
Matriz inicial:
2 & 4 & -3 & 4 1 & 2 & -2 & 3 2 & 1 & -2 & 3
  1. Eliminar o primeiro elemento da segunda linha:
R2 = R2 - 12R1 implies 0 & 0 & -0.5 & 1
  1. Eliminar o primeiro elemento da terceira linha:
R3 = R3 - R1 implies 0 & -3 & 1 & -1
Matriz após as operações:
2 & 4 & -3 & 4 0 & 0 & -0.5 & 1 0 & -3 & 1 & -1
  1. Trocar a segunda e a terceira linha para facilitar a escalonagem:
Troca R2 rightarrow R3 implies 0 & -3 & 1 & -1 , 0 & 0 & -0.5 & 1
Matriz após a troca:
2 & 4 & -3 & 4 0 & -3 & 1 & -1 0 & 0 & -0.5 & 1
Esse é o processo de escalonamento que usamos para chegar à forma triangular superior da matriz.

Passo 8

vii) Sistema equivalente após redução
Após escalonarmos a matriz, o sistema equivalente fica:
2x + 4y -3z +4w =5 -3y + z - w = -1 -0.5z + w =1
Esse é o sistema reduzido onde ficou mais fácil resolver as incógnitas uma a uma, começando de baixo para cima.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções dadas por:
x = dfrac2t +16 y = dfract - 13 z = 2t - 2 w = t para todo t in R

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