Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha a solução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.
a)
cx+2 y-2 z+3 w=0 2 x+4 y-3 z+4 w=0 5 x+10 y-8 z+11 w=0

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas:
c x + 2y - 2z + 3w = 0 2x + 4y - 3z + 4w = 0 5x + 10y - 8z + 11w = 0
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos. Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas, como escalonamento de matrizes, para descobrir se o sistema tem soluções e quais são elas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & -2 & 3 & | & 0 2 & 4 & -3 & 4 & | & 0 5 & 10 & -8 & 11 & | & 0
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar relações entre as variáveis.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro “1” na primeira coluna. Para isso, fazemos:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
1 & 2 & -2 & 3 & | & 0 0 & 0 & 1 & -2 & | & 0 5 & 10 & -8 & 11 & | & 0

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do primeiro “1” na primeira coluna na terceira linha:
  • Linha 3 = Linha 3 - 5 * Linha 1
1 & 2 & -2 & 3 & | & 0 0 & 0 & 1 & -2 & | & 0 0 & 0 & 2 & -4 & | & 0

Passo 5

Observamos que a terceira linha é o dobro da segunda linha. Isso significa que a terceira equação não traz nenhuma informação nova. Portanto, podemos simplificar o sistema para:
x + 2y - 2z + 3w = 0 z - 2w = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver o sistema simplificado. Vamos considerar y e w como variáveis livres, ou seja, escolhemos que elas podem assumir qualquer valor. Vamos chamar y = s e w = t.
Da segunda equação:
z - 2w = 0 Rightarrow z = 2t

Passo 7

Substituímos y = s e z = 2t na primeira equação para achar x:
x + 2s - 2(2t) + 3t = 0 x + 2s - 4t + 3t = 0 x = -2s + t

Passo 8

Então, temos as expressões para todas as variáveis em termos de s e t:
x = -2s + t y = s z = 2t w = t

Passo 9

Podemos escrever a solução geral como uma combinação linear das variáveis livres s e t:
x y z w = s -2 1 0 0 + t 1 0 2 1

Resposta

O sistema é possível e tem uma solução geral expressa por:
x = -2s + t y = s z = 2t w = t
Onde s e t são parâmetros livres. As soluções básicas dos sistemas homogêneos são os vetores -2 1 0 0 e 1 0 2 1 .

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