Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha a solução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.
a)
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e quatro incógnitas:
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares homogêneos. Vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas, como escalonamento de matrizes, para descobrir se o sistema tem soluções e quais são elas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Nosso objetivo é simplificar essa matriz para encontrar relações entre as variáveis.
Passo 3
Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro “1” na primeira coluna. Para isso, fazemos:
Observamos que a terceira linha é o dobro da segunda linha. Isso significa que a terceira equação não traz nenhuma informação nova. Portanto, podemos simplificar o sistema para:
x + 2y - 2z + 3w = 0 z - 2w = 0
Passo 6
Agora, vamos resolver o sistema simplificado. Vamos considerar y e w como variáveis livres, ou seja, escolhemos que elas podem assumir qualquer valor. Vamos chamar y = s e w = t.
Da segunda equação:
z - 2w = 0 Rightarrow z = 2t
Passo 7
Substituímos y = s e z = 2t na primeira equação para achar x:
x + 2s - 2(2t) + 3t = 0 x + 2s - 4t + 3t = 0 x = -2s + t
Passo 8
Então, temos as expressões para todas as variáveis em termos de s e t:
x = -2s + t y = s z = 2t w = t
Passo 9
Podemos escrever a solução geral como uma combinação linear das variáveis livres s e t:
x y z w = s -2 1 0 0 + t 1 0 2 1
Resposta
O sistema é possível e tem uma solução geral expressa por:
x = -2s + t y = s z = 2t w = t
Onde s e t são parâmetros livres. As soluções básicas dos sistemas homogêneos são os vetores -2 1 0 0 e 1 0 2 1 .