Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
3. Seja G=(Z21^*, cdot) o grupo multiplicativo das classes residuais módulo 21. Introduzimos uma rerlação
& varrho subseteq G^2 & bara varrho barb stackrel def Leftrightarrow exists barc in1, 4, 1 6: bara cdot barc=barb
(a) Verifique se a relação varrho é de equivalência.
(b) Descreve a partição G / varrho.

Passo 1

O enunciado define o grupo multiplicativo
Z21^*=amid gcd(a,21)=1
e a relação varrho em G=l(Z21^*,cdotr) por
a,varrho,b Long<=ftrightarrow exists,cin1,4,16 tal que acdotc=b
Vamos mostrar que varrho é de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e depois descrever a partição G/varrho.

Passo 2

Reflexividade: para todo ain G escolhemos c=1.
Como acdot1=a, segue a,varrho,a.

Passo 3

Simetria: suponha a,varrho,b.
Então existe cin1,4,16 tal que
b=acdotc.
O conjunto H=1,4,16 é um subgrupo de G (é o subgrupo cíclico gerado por 4), logo c^-1in H.
Multiplicando b=acdotc por c^-1 obtemos
a=bcdotc^-1
com c^-1in H, logo b,varrho,a.

Passo 4

Transitividade: se a,varrho,b e b,varrho,d, então existem c1,c2in H tais que
b=acdotc1 e d=bcdotc2.
Logo
d =l(acdotc1r)cdotc2 =acdot(c1cdotc2)
e c1cdotc2in H, o que dá a,varrho,d.

Passo 5

Como varrho é reflexiva, simétrica e transitiva, é relação de equivalência.
Os seus equivalentes classes são exatamente os cosets de H em G.
Como |G|=12 e |H|=3, teremos 4 classes de equivalência (cada uma com 3 elementos).
Basta escolher representantes e multiplicar por cada elemento de H.

Resposta

(a) varrho é uma relação de equivalência em G.
(b) A partição G/varrho é dada pelos cosets de
H=1,4,16. Em particular,
G/varrho =l 1,4,16, 2,8,11, 5,20,17, 10,19,13 r

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