Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
3. Seja o grupo multiplicativo das classes residuais módulo 21. Introduzimos uma rerlação
(a) Verifique se a relação é de equivalência.
(b) Descreve a partição .
Passo 1
O enunciado define o grupo multiplicativo
e a relação em por
Vamos mostrar que varrho é de equivalência (reflexiva, simétrica, transitiva) e depois descrever a partição G/varrho.
Passo 2
Reflexividade: para todo ain G escolhemos c=1.
Como acdot1=a, segue a,varrho,a.
Passo 3
Simetria: suponha a,varrho,b.
Então existe cin1,4,16 tal que b=acdotc.
O conjunto H=1,4,16 é um subgrupo de G (é o subgrupo cíclico gerado por 4), logo c^-1in H.
Multiplicando b=acdotc por c^-1 obtemos a=bcdotc^-1
com c^-1in H, logo b,varrho,a.
Passo 4
Transitividade: se a,varrho,b e b,varrho,d, então existem c1,c2in H tais que b=acdotc1 e d=bcdotc2.
Logo
d =l(acdotc1r)cdotc2 =acdot(c1cdotc2)
e c1cdotc2in H, o que dá a,varrho,d.
Passo 5
Como varrho é reflexiva, simétrica e transitiva, é relação de equivalência.
Os seus equivalentes classes são exatamente os cosets de H em G.
Como |G|=12 e |H|=3, teremos 4 classes de equivalência (cada uma com 3 elementos).
Basta escolher representantes e multiplicar por cada elemento de H.
Resposta
(a) varrho é uma relação de equivalência em G.
(b) A partição G/varrho é dada pelos cosets de H=1,4,16. Em particular,