Para cada sistema dado encontre
i. A forma matricial do sistema.
ii. O posto e a nulidade da matriz de coeficientes.
iii. - Os graus de liberdade do sistema.
iv. A caracterização do sistema.
v. O conjunto solução, se houver, na forma matricial.
vi. Obtenha o processo de escalonamento explicitando as operações elementares usadas.
vii. Explicite o sistema equivalente após redução.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente precisa fazer aqui é:
Escrever o sistema na forma de matriz.
Encontrar o posto (rank) e a nulidade da matriz de coeficientes.
Determinar os graus de liberdade do sistema.
Caracterizar o sistema (se é compatível, inconsistente, determinado ou indeterminado).
Encontrar o conjunto solução, se existir, na forma matricial.
Fazer o processo de escalonamento usando operações elementares.
Apresentar o sistema equivalente após a redução.
Vamos por partes, explicando cada conceito enquanto resolvemos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis em uma matriz e as constantes em um vetor. Nosso sistema é:
A matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes b ficam assim:
Então, a forma matricial do sistema é A cdot x = b , onde x = x y z w .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre posto e nulidade da matriz de coeficientes.
Posto (Rank): É o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Ele nos diz quantas equações efetivamente contribuem para restringir as soluções.
Nulidade: É o número de variáveis livres no sistema, ou seja, quantas variáveis podem assumir qualquer valor. A nulidade é calculada pela diferença entre o número de colunas da matriz e o seu posto.
Vamos calcular o posto da matriz A . Para isso, vamos colocar A em forma escalonada e ver quantas linhas não nulas teremos.
Passo 4
Seguimos para os graus de liberdade. Os graus de liberdade nos dizem quantas variáveis podemos escolher livremente antes de determinar as demais. Eles estão diretamente relacionados à nulidade da matriz.
Para encontrar os graus de liberdade, usamos a fórmula:
Graus de liberdade = Número de variáveis - Posto úá
No nosso caso, temos 4 variáveis ( x, y, z, w ), então:
Graus de liberdade = 4 - Posto
Vamos determinar o posto para calcular isso.
Passo 5
Vamos caracterizar o sistema. Isso significa dizer se ele é:
Compatível: Possui pelo menos uma solução.
Determinante: Possui exatamente uma solução.
Indeterminado: Possui infinitas soluções.
Incompatível: Não possui solução.
A caracterização depende do posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada (matriz dos coeficientes com o vetor b ). Se os postos forem iguais e iguais ao número de incógnitas, o sistema é determinado. Se os postos forem iguais, mas menores que o número de incógnitas, é indeterminado. Se os postos forem diferentes, é incompatível.
Passo 6
Vamos realizar o processo de escalonamento na matriz aumentada para encontrar o posto e reduzir o sistema. As operações elementares que podemos usar são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Passo 1: Vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (5 na posição (1,1)). Para isso, podemos substituir a segunda linha por (Linha2 - (3/5)*Linha1) e a terceira linha por (Linha3 - (3/5)*Linha1).
Passo 2: Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (-4 na posição (2,2)). Para isso, podemos substituir a terceira linha por (Linha3 - ( (-3)/(-4) ) * Linha2 )
Essa forma já está quase pronta para identificar as soluções.
Resposta
Finalmente, analisando a matriz reduzida, vemos que não há inconsistências (como uma linha do tipo 0 = algo diferente de zero ). O posto da matriz A é 3 (número de linhas não nulas), e como temos 4 variáveis, a nulidade é 4 - 3 = 1 . Portanto, o sistema é compatível indeterminado, com um grau de liberdade. O conjunto solução pode ser expresso em termos de uma variável livre, por exemplo, w = t , e as demais variáveis são expressas em função de t .