Para cada sistema dado encontre
i. A forma matricial do sistema.
ii. O posto e a nulidade da matriz de coeficientes.
iii. - Os graus de liberdade do sistema.
iv. A caracterização do sistema.
v. O conjunto solução, se houver, na forma matricial.
vi. Obtenha o processo de escalonamento explicitando as operações elementares usadas.
vii. Explicite o sistema equivalente após redução.
f)
5 x+10 y-8 z+11 w=12
c 3 x+2 y-z+2 w=4 3 x+3 y+3 z-3 w=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Escrever o sistema na forma de matriz.
  2. Encontrar o posto (rank) e a nulidade da matriz de coeficientes.
  3. Determinar os graus de liberdade do sistema.
  4. Caracterizar o sistema (se é compatível, inconsistente, determinado ou indeterminado).
  5. Encontrar o conjunto solução, se existir, na forma matricial.
  6. Fazer o processo de escalonamento usando operações elementares.
  7. Apresentar o sistema equivalente após a redução.
Vamos por partes, explicando cada conceito enquanto resolvemos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso significa organizar os coeficientes das variáveis em uma matriz e as constantes em um vetor. Nosso sistema é:
5x + 10y - 8z + 11w = 12 3x + 2y - z + 2w = 4 3x + 3y + 3z - 3w = 5
A matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes b ficam assim:
A = 5 & 10 & -8 & 11 3 & 2 & -1 & 2 3 & 3 & 3 & -3 , b = 12 4 5
Então, a forma matricial do sistema é A cdot x = b , onde x = x y z w .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre posto e nulidade da matriz de coeficientes.
  • Posto (Rank): É o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes na matriz. Ele nos diz quantas equações efetivamente contribuem para restringir as soluções.
  • Nulidade: É o número de variáveis livres no sistema, ou seja, quantas variáveis podem assumir qualquer valor. A nulidade é calculada pela diferença entre o número de colunas da matriz e o seu posto.
Vamos calcular o posto da matriz A . Para isso, vamos colocar A em forma escalonada e ver quantas linhas não nulas teremos.

Passo 4

Seguimos para os graus de liberdade. Os graus de liberdade nos dizem quantas variáveis podemos escolher livremente antes de determinar as demais. Eles estão diretamente relacionados à nulidade da matriz.
Para encontrar os graus de liberdade, usamos a fórmula:
Graus de liberdade = Número de variáveis - Posto úá
No nosso caso, temos 4 variáveis ( x, y, z, w ), então:
Graus de liberdade = 4 - Posto
Vamos determinar o posto para calcular isso.

Passo 5

Vamos caracterizar o sistema. Isso significa dizer se ele é:
  • Compatível: Possui pelo menos uma solução.
    • Determinante: Possui exatamente uma solução.
    • Indeterminado: Possui infinitas soluções.
  • Incompatível: Não possui solução.
A caracterização depende do posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada (matriz dos coeficientes com o vetor b ). Se os postos forem iguais e iguais ao número de incógnitas, o sistema é determinado. Se os postos forem iguais, mas menores que o número de incógnitas, é indeterminado. Se os postos forem diferentes, é incompatível.

Passo 6

Vamos realizar o processo de escalonamento na matriz aumentada para encontrar o posto e reduzir o sistema. As operações elementares que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Somar a múltiplos de uma linha a outra linha.
Vamos aplicar essas operações passo a passo.
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada [A|b] :
5 & 10 & -8 & 11 & | & 12 3 & 2 & -1 & 2 & | & 4 3 & 3 & 3 & -3 & | & 5
Passo 1: Vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (5 na posição (1,1)). Para isso, podemos substituir a segunda linha por (Linha2 - (3/5)*Linha1) e a terceira linha por (Linha3 - (3/5)*Linha1).
Calculando:
Nova Linha2:
3 - 35 times 5 = 0 2 - 35 times 10 = 2 - 6 = -4 -1 - 35 times (-8) = -1 + 245 = 195 2 - 35 times 11 = 2 - 335 = -235 4 - 35 times 12 = 4 - 365 = -165
Nova Linha3:
3 - 35 times 5 = 0 3 - 35 times 10 = 3 - 6 = -3 3 - 35 times (-8) = 3 + 245 = 395 -3 - 35 times 11 = -3 - 335 = -485 5 - 35 times 12 = 5 - 365 = -115
Então, a matriz fica:
5 & 10 & -8 & 11 & | & 12 0 & -4 & 195 & -235 & | & -165 0 & -3 & 395 & -485 & | & -115
Passo 2: Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô (-4 na posição (2,2)). Para isso, podemos substituir a terceira linha por (Linha3 - ( (-3)/(-4) ) * Linha2 )
Primeiro, calculamos o fator:
Fator = -3-4 = 34
Nova Linha3:
0 - 0 = 0 -3 - 34 times (-4) = -3 + 3 = 0 395 - 34 times 195 = 395 - 5720 = 15620 - 5720 = 9920 -485 - 34 times (-235) = -485 + 6920 = -19220 + 6920 = -12320 -115 - 34 times (-165) = -115 + 4820 = -4420 + 4820 = 420 = 15
Então, a matriz fica:
5 & 10 & -8 & 11 & | & 12 0 & -4 & 195 & -235 & | & -165 0 & 0 & 9920 & -12320 & | & 15

Passo 7

Após o escalonamento, temos a matriz reduzida:
5 & 10 & -8 & 11 & | & 12 0 & -4 & 195 & -235 & | & -165 0 & 0 & 9920 & -12320 & | & 15
Essa forma já está quase pronta para identificar as soluções.

Resposta

Finalmente, analisando a matriz reduzida, vemos que não há inconsistências (como uma linha do tipo 0 = algo diferente de zero ). O posto da matriz A é 3 (número de linhas não nulas), e como temos 4 variáveis, a nulidade é 4 - 3 = 1 . Portanto, o sistema é compatível indeterminado, com um grau de liberdade. O conjunto solução pode ser expresso em termos de uma variável livre, por exemplo, w = t , e as demais variáveis são expressas em função de t .
Em forma matricial, a solução é:
x = x y z w = a b c t
onde a, b, c são expressos em função de t .

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