Considere a hipérbole com foco em F1=(2,3), F2=(-1,0) e um dos vértices é V=(1,2) :
Determinar seus principais elementos: o outro vértice, reta focal.

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole com focos F1=(2,3) e F2=(-1,0) e um dos vértices V1=(1,2). Pede-se o outro vértice e a reta focal. Vamos usar que o centro da hipérbole é o ponto médio dos focos e também dos vértices, e que a reta focal é a reta que passa por F1 e F2.

Passo 2

Calculamos o centro (Cx,Cy) como ponto médio de F1 e F2:
Cx = 2 + (-1)2 = tfrac12, Cy = 3 + 02 = tfrac32
Como o centro é também o ponto médio de V1=(1,2) e do outro vértice V2=(x2,y2), temos
1 + x22 = tfrac12, 2 + y22 = tfrac32
Resolvendo, obtemos
x2 = 0, y2 = 1,
logo o outro vértice é V2=(0,1).

Passo 3

A reta focal é a reta que contém F1 e F2. A inclinação é
m = 3 - 02 - (-1) = 1,
então a equação ponto-reta usando F1 fica
y - 3 = 1,(x - 2),
ou seja
y = x + 1

Resposta

O outro vértice é (0,1).
A reta focal tem equação ;y = x + 1.

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