Considere a hipérbole com foco em
e um dos vértices é
:
Determinar a equação da hipérbole.
Determinar a equação da hipérbole.
Passo 1
O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são
e que possui um vértice em
Conteúdo: geometria analítica de hipérbole definida pela diferença constante das distâncias a dois focos. Vamos precisar:
– calcular o centro ,
– determinar os parâmetros ,
e
,
– achar a orientação do eixo transverso e montar a equação canônica em eixos rotacionados.
– calcular o centro
– determinar os parâmetros
– achar a orientação do eixo transverso e montar a equação canônica em eixos rotacionados.
Passo 2
Calcular centro
e os parâmetros
,
,
:
O centro é o ponto médio de :
O centro é o ponto médio de
O vértice
está a uma distância
de
. O vetor
é
logo
O parâmetro
é a distância de
a um foco, por exemplo
:
Na hipérbole vale
, então
logo
.
Passo 3
Determinar a orientação do eixo transverso e definir as coordenadas rotacionadas
:
O eixo transverso passa por e
, direção do vetor
de inclinação
, i.e.\ ângulo
. Num sistema centrado em
e girado de
, temos
O eixo transverso passa por
Passo 4
Escrever a equação canônica em
e voltar a
:
A forma canônica da hipérbole é
A forma canônica da hipérbole é
Substituindo
,
e os
acima: