Considere a hipérbole com foco em F1=(2,3), F2=(-1,0) e um dos vértices é V=(1,2) :
Determinar a equação da hipérbole.

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são
F1 = (2,3), F2 = (-1,0)
e que possui um vértice em
V = (1,2)
Conteúdo: geometria analítica de hipérbole definida pela diferença constante das distâncias a dois focos. Vamos precisar:
– calcular o centro C,
– determinar os parâmetros a, c e b,
– achar a orientação do eixo transverso e montar a equação canônica em eixos rotacionados.

Passo 2

Calcular centro C e os parâmetros a, c, b:
O centro é o ponto médio de F1F2:
C = l(2+(-1)2,,3+02r) = l(tfrac12,tfrac32r)
O vértice V está a uma distância a de C. O vetor CV é
V - C = l(1-tfrac12,;2-tfrac32r) = l(tfrac12,tfrac12r),
logo
a = |CV| = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 = raiz22
O parâmetro c é a distância de C a um foco, por exemplo F1:
F1-C = l(2-tfrac12,;3-tfrac32r) = l(tfrac32,tfrac32r), c = |F1-C| = 3raiz22
Na hipérbole vale c^2 = a^2 + b^2, então
b^2 = c^2 - a^2 = l(tfrac3raiz22r)^2 - l(tfracraiz22r)^2 = 184 - 24 =4,
logo b = 2.

Passo 3

Determinar a orientação do eixo transverso e definir as coordenadas rotacionadas (x',y'):
O eixo transverso passa por C e V, direção do vetor (12,12) de inclinação 1, i.e.\ ângulo theta = pi4. Num sistema centrado em C e girado de -theta, temos
x' = (x-12)costheta + (y-32)sintheta1 = (x-12)+(y-32)raiz2,
y' = -(x-12)sintheta + (y-32)costheta1 = -(x-12)+(y-32)raiz2

Passo 4

Escrever a equação canônica em (x',y') e voltar a (x,y):
A forma canônica da hipérbole é
x'^2a^2 ;-;y'^2b^2 ;=;1
Substituindo a^2=tfrac12, b^2=4 e os x',y' acima:
(x+y-2)^22tfrac12 ;-; (y-x-1)^224 ;=;1 Longrightarrow (x+y-2)^2 ;-;(y - x - 1)^28 ;=;1

Resposta

boxed(x+y-2)^2 ;-;(y - x - 1)^28 ;=;1

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