Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha a solução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.
c) 3 x1-7 x2-2 x3+4 x4=0
4 x1+3 x2+5 x3+2 x4=0

Passo 1

Beleza, vamos analisar o sistema de equações que a gente tem aqui. A gente está trabalhando com sistemas lineares homogêneos, que são aqueles onde todas as equações igualam a zero. Nosso sistema tem duas equações com quatro incógnitas:
3 x1 - 7 x2 - 2 x3 + 4 x4 = 0 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 + 2 x4 = 0
Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de variáveis, para encontrar a solução geral. A ideia é descobrir se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, organizamos as equações para facilitar a resolução. Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
3 & -7 & -2 & 4 & | & 0 4 & 3 & 5 & 2 & | & 0

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz. Nosso objetivo é zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (3).
Multiplicamos a primeira linha por 4 e a segunda linha por 3 para igualar os coeficientes de x1 :
12 & -28 & -8 & 16 & | & 0 12 & 9 & 15 & 6 & | & 0
Agora, subtraímos a primeira linha da segunda:
12 & -28 & -8 & 16 & | & 0 0 & 37 & 23 & -10 & | & 0

Passo 4

Agora, temos duas equações simplificadas:
12 x1 - 28 x2 - 8 x3 + 16 x4 = 0 37 x2 + 23 x3 - 10 x4 = 0
Vamos resolver a segunda equação para x2 :
37 x2 = -23 x3 + 10 x4 x2 = -2337 x3 + 1037 x4

Passo 5

Agora, substituímos x2 na primeira equação:
12 x1 - 28 ( -2337 x3 + 1037 x4 ) - 8 x3 + 16 x4 = 0
Simplificando:
12 x1 + 64437 x3 - 28037 x4 - 8 x3 + 16 x4 = 0
Multiplicando tudo por 37 para eliminar os denominadores:
444 x1 + 644 x3 - 280 x4 - 296 x3 + 592 x4 = 0
Simplificando:
444 x1 + 348 x3 + 312 x4 = 0
Dividindo por 12 para simplificar:
37 x1 + 29 x3 + 26 x4 = 0 37 x1 = -29 x3 - 26 x4 x1 = -2937 x3 - 2637 x4

Passo 6

Agora, temos expressões para x1 e x2 em termos de x3 e x4 . Vamos definir x3 = s e x4 = t , onde s e t são parâmetros livres.
Então:
x1 = -2937 s - 2637 t x2 = -2337 s + 1037 t x3 = s x4 = t

Resposta

O sistema é possível e possui infinitas soluções. A solução geral é dada por:
x1 = -2937 s - 2637 t x2 = -2337 s + 1037 t x3 = s x4 = t
onde s e t são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados