Quais dos sistemas dados são possíveis ou impossíveis? Se for o caso, obtenha a solução geral e explicite as soluções básicas dos sistemas homogêneos.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três variáveis: x , y e z . O objetivo é descobrir se esse sistema tem solução ou não. Se tiver, vamos achar a solução geral e também as soluções básicas do sistema homogêneo associado (que é quando igualamos tudo a zero). Para resolver, vamos usar um pouco de álgebra linear, tipo eliminar incógnitas e ver como as equações se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema direitinho:
x + 2y - 3z = 4 (Equação 1) x + 3y + z = 11 (Equação 2) 2x + 6y + 2z = 22 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar x :
(x + 3y + z) - (x + 2y - 3z) = 11 - 4
Simplificando:
y + 4z = 7 (Equação 4) çã

Passo 4

Agora, vamos analisar a Equação 3. Vamos ver se ela está de acordo com as Equações 1 e 2. Multiplicando a Equação 1 por 2:
2x + 4y - 6z = 8 (Equação 5) çã
Comparando com a Equação 3:
2x + 6y + 2z = 22
Subtraindo a Equação 5 da Equação 3:
(2x + 6y + 2z) - (2x + 4y - 6z) = 22 - 8
Simplificando:
2y + 8z = 14 (Equação 6) çã

Passo 5

Vamos agora resolver as Equações 4 e 6 juntas:
y + 4z = 7 (Equação 4) 2y + 8z = 14 (Equação 6) çãçã
Notamos que a Equação 6 é exatamente 2 vezes a Equação 4:
2(y + 4z) = 2 times 7 Rightarrow 2y + 8z = 14
Isso indica que as duas equações são dependentes, ou seja, representam a mesma reta. Portanto, nosso sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Vamos expressar y em termos de z usando a Equação 4:
y = 7 - 4z
Agora, vamos substituir y na Equação 1 para achar x :
x + 2(7 - 4z) - 3z = 4
Simplificando:
x + 14 - 8z - 3z = 4 x - 11z = -10 x = 11z -10

Passo 7

Então, temos que:
x = 11z -10 y = 7 - 4z z = z (pode ser qualquer número real) ú
Isso significa que paramos z e as outras variáveis dependem dele. Essa é a solução geral do sistema.

Passo 8

Para achar as soluções básicas do sistema homogêneo associado, vamos igualar o lado direito a zero:
x + 2y - 3z = 0 x + 3y + z = 0 2x + 6y + 2z = 0
Seguindo um processo similar, vamos encontrar a solução geral do sistema homogêneo:
x = 11z y = -4z z = z
Podemos escrever a solução como:
x = 11t y = -4t z = t
Onde t é um parâmetro real. Essa é a solução básica do sistema homogêneo.

Resposta

O sistema é possível e admite infinitas soluções. A solução geral é dada por:
x = 11z -10 y = 7 - 4z z é livre é
As soluções básicas do sistema homogêneo associado são:
x = 11t y = -4t z = t onde t in R

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