Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=0 \\\\ 2 x+3 y+z=5 \\\ x+y+2 z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 2y - z = 0,\\\\ 2x + 3y + z = 5,\\\ x + y + 2z = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas via forma matricial e redução pelo método de eliminação de Gauss-Jordan. Vamos precisar escrever o sistema como A\mathbf{x}=\mathbf{b}, formar a matriz aumentada [A|\mathbf{b}], aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada reduzida por linhas (RREF) e daí classificar o sistema e obter sua solução (se existir).

Passo 2

(a) Para escrever o sistema na forma matricial, identificamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix}.
Assim, a forma matricial é
A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}.

Passo 3

(b) A matriz aumentada [A|\mathbf{b}] fica
\bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & \mid & 5\\\\ 1 & 1 & 2 & \mid & 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

(c) Vamos reduzir \bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] a RREF, indicando cada operação em linhas (denotadas por \mathrm{L}_i):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & \mid & 5\\\\ 1 & 1 & 2 & \mid & 4 \end{pmatrix} \quad \overset{\mathrm{L}_2\leftarrow \mathrm{L}_2-2\mathrm{L}_1,\;\mathrm{L}_3\leftarrow \mathrm{L}_3-\mathrm{L}_1}{\longrightarrow} \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0\\\\ 0 & -1 & 3 & \mid & 5\\\\ 0 & -1 & 3 & \mid & 4 \end{pmatrix}
\overset{\mathrm{L}_2\leftarrow -\,\mathrm{L}_2}{\longrightarrow} \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0\\\\ 0 & 1 & -3 & \mid & -5\\\\ 0 & -1 & 3 & \mid & 4 \end{pmatrix}
\overset{\mathrm{L}_1\leftarrow \mathrm{L}_1-2\mathrm{L}_2,\;\mathrm{L}_3\leftarrow \mathrm{L}_3+\mathrm{L}_2}{\longrightarrow} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & \mid & 10\\\\ 0 & 1 & -3 & \mid & -5\\\\ 0 & 0 & 0 & \mid & -1 \end{pmatrix}.
Este é o escalonamento reduzido por linhas. Note que a última linha diz
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
que é impossível de satisfazer.

Passo 5

(d) Como na última linha obtivemos a equação 0 = -1, o sistema é inconsistente. Logo, não há nenhuma solução.

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix}.
(b)
\bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \mid & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & \mid & 5\\\\ 1 & 1 & 2 & \mid & 4 \end{pmatrix}.
(c) A forma escalonada reduzida por linhas é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & \mid & 10\\\\ 0 & 1 & -3 & \mid & -5\\\\ 0 & 0 & 0 & \mid & -1 \end{pmatrix}.
(d) O sistema é inconsistente e não possui solução.

Exercícios relacionados