Resolva o sistema:
\left\{\begin{aligned} 2 y+3 z & =8 \\\\ 2 x+3 y+z & =5 \\\\ -x-y-2 z & =-5 \end{aligned}\right.
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2y + 3z = 8,\\\\ 2x + 3y + z = 5,\\\\ -\,x - y - 2z = -5 \end{cases}
O conteúdo é sistema linear e usaremos eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a solução.

Passo 2

Escrevendo na forma matricial A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde \mathbf{v}=(x,y,z)^T:
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}8\\\ 5\\\ -5\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}] é
\left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 3 & 8\\\\ 2 & 3 & 1 & 5\\\\ -1 & -1 & -2 & -5 \end{array}\right].

Passo 4

Obtemos primeiro a forma escalonada (forward elimination):
  • R1 \leftrightarrow R2, para ter pivô não nulo na primeira linha.
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 2 & 3 & 8\\\\ -1 & -1 & -2 & -5 \end{array}\right]
  • R3 \to R 3+ \tfrac12 R1, para zerar o elemento (3,1).
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 2 & 3 & 8\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac32 & -\tfrac52 \end{array}\right]
  • R2 \to \tfrac12 R2, para normalizar o pivô em (2,2).
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac32 & -\tfrac52 \end{array}\right]
  • R3 \to R3 - \tfrac12 R2, zerando (3,2).
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & 0 & -\tfrac94 & -\tfrac92 \end{array}\right]
  • R3 \to -\tfrac49 R3, para normalizar o pivô em (3,3).
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 5\\\\ 0 & 1 & \tfrac32 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 5

Agora eliminamos acima dos pivôs (backward elimination), chegando à forma escalonada reduzida por linhas:
  • R2 \to R2 - \tfrac32 R3
  • R1 \to R1 -R3
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
  • R1 \to R1 -3 R2
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]
  • R1 \to \tfrac12 R1
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].

Passo 6

Como chegamos à identidade à esquerda, o sistema é consistente e determinado, com solução única.

Resposta

O sistema é consistente e determinado.
A solução é
x = 0,\quad y = 1,\quad z = 2.

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