Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=-1 \\\\ 2 x+y-z=1 \\\\ 3 x+y+2 z=5 \\\\ 4 x+2 y+z=4 \end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x+y-z=-1,\\\\ 2x+y-z=1,\\\\ 3x+y+2z=5,\\\\ 4x+2y+z=4, \end{cases}
que envolve eliminação de Gauss–Jordan para obter a forma escalonada reduzida, classificar o sistema e encontrar sua solução.

Passo 2

(a) Na forma matricial Ax=b, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 5\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 3

(b) A matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr] é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & 2 & 5\\\\ 4 & 2 & 1 & 4 \end{array}\right].

Passo 4

(c) Primeiro pivô em \,(1,1): use R_1 para zerar abaixo.
Operações
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-4R_1,
resulta em
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 & 3\\\\ 0 & -2 & 5 & 8\\\\ 0 & -2 & 5 & 8 \end{array}\right].

Passo 5

Pivô em \,(2,2): torne-o unitário e elimine na coluna 2.
Operações
R_2\leftarrow -R_2, \quad R_1\leftarrow R_1-R_2, \quad R_3\leftarrow R_3+2R_2, \quad R_4\leftarrow R_4+2R_2,
dando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & -1& -3\\\\ 0 & 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{array}\right].

Passo 6

Pivô em \,(3,3): normalize e elimine na coluna 3.
Operações
R_3\leftarrow \tfrac13R_3, \quad R_2\leftarrow R_2+R_3, \quad R_4\leftarrow R_4-3R_3,
ficando a forma escalonada reduzida
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{7}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

(d) O posto de A é 3, igual ao número de incógnitas, e não há linha impossível. Logo o sistema é compatível determinado com solução única
x = 2,\quad y = -\tfrac{7}{3},\quad z = \tfrac{2}{3}.

Resposta

(a) A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\\ 2&1&-1\\\ 3&1&2\\\ 4&2&1\end{pmatrix},\;x=(x,y,z)^T,\;b=(-1,1,5,4)^T.
(b) \displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&-1\\\ 2&1&-1&1\\\ 3&1&2&5\\\ 4&2&1&4\end{array}\right].
(c) Forma escalonada reduzida \displaystyle\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\\ 0&1&0&-{\tfrac{7}{3}}\\\ 0&0&1&{\tfrac{2}{3}}\\\ 0&0&0&0\end{array}\right].
(d) Sistema compatível determinado; solução \,(x,y,z)=(2,\,-\tfrac{7}{3},\,\tfrac{2}{3}).

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