Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+3 y-z=-1 \\\\ 2 x-y-2 z=-2 \\\ x-2 y+z=3 \\\\ 3 x+y+z=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas
\begin{cases} x + 3y - z = -1,\\\\ 2x - y - 2z = -2,\\\ x - 2y + z = 3,\\\\ 3x + y + z = 5, \end{cases}
e pede: (a) forma matricial A\vec x = \vec b; (b) matriz aumentada (A\mid \vec b); (c) forma escalonada reduzida por linhas de (A\mid \vec b) com indicação das operações elementares; (d) classificação do sistema e conjunto-solução. Vamos usar eliminação de Gauss e RREF.

Passo 2

(a) Escrevendo em forma matricial, temos
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & -2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \vec x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \vec b = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix},
de modo que A\vec x = \vec b.

Passo 3

(b) A matriz aumentada (A\mid \vec b) é
(A\mid \vec b) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -1\\\\ 2 & -1 & -2 & -2\\\\ 1 & -2 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right).

Passo 4

(c) Eliminamos passo a passo:
  1. Zerar a coluna 1 em R2, R3 e R4 usando R1:
    R2 \toR2– 2\cdotR1, R3 \toR3–R1, R4 \toR4– 3\cdotR1
    resulta em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -1\\\\ 0 & -7 & 0 & 0\\\\ 0 & -5 & 2 & 4\\\\ 0 & -8 & 4 & 8 \end{array}\right).
  1. Pivot em R2: normalizamos e eliminamos coluna 2 em R1, R3, R4.
    R2 \to(−1/7)·R2,; R1 \toR1– 3\cdotR2,; R3 \toR 3+5\cdotR2,; R4 \toR 4+8\cdotR2
    resulta em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 4\\\\ 0 & 0 & 4 & 8 \end{array}\right).
  1. Pivot em R3: normalizamos e eliminamos coluna 3 em R4 e R1.
    R3 \to \tfrac12·R3,; R4 \toR4– 4\cdotR3,; R1 \toR 1+R3
    resulta em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),
que é a forma escalonada reduzida por linhas de (A\mid \vec b).

Passo 5

(d) A última linha 0\,x+0\,y+0\,z=0 mostra que o sistema é consistente. Há pivôs nas três colunas, logo solução única:
x = 1,\quad y = 0,\quad z = 2.

Resposta

(a) A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & -2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad \vec x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \vec b = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 3\\\ 5\end{pmatrix}.
(b) (A\mid \vec b)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & -1\\\\ 2 & -1 & -2 & -2\\\\ 1 & -2 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 1 & 5 \end{array}\right).
(c) A forma escalonada reduzida por linhas é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
(d) O sistema é consistente com solução única \,(x,y,z)=(1,0,2).)

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