Verifique se o sistema linear homogêneo abaixo é determinado ou indeterminado.
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\\\ 2 x+2 y+4 z=0 \\\ x+y+3 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema homogêneo em três incógnitas (x,y,z):
\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2x+2y+4z=0,\\\ x+y+3z=0.
Para decidir se ele é determinado (única solução) ou indeterminado (infinitas soluções), vamos calcular o posto (rank) da matriz de coeficientes e comparar com o número de incógnitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 2 & 4\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Como o sistema é homogêneo, não precisamos de coluna de termos independentes para avaliar o posto.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss:
  1. R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  1. R_3 \leftarrow R_3 - R_2, chegando a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Contamos as linhas não nulas na forma escalonada: são duas. Logo
\text{posto}(A)=2.

Passo 5

O sistema tem 3 incógnitas e o posto é 2<3. Num sistema homogêneo, isso significa que há um grau de liberdade na solução (dimensão do espaço nulo igual a 3-2=1), ou seja, existem infinitas soluções não-triviais. Portanto o sistema é indeterminado.

Resposta

O sistema homogêneo é indeterminado (possui infinitas soluções).

Exercícios relacionados