Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x-y+z+w=4 \\\\ 2 x-y-z=-3 \\\ x-2 y+w=1 \\\\ 5 x+z-w=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para tratar um sistema de quatro equações lineares em quatro variáveis \bigl(x,y,z,w\bigr). Vamos escrever o sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, em seguida montar a matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}], aplicar eliminação de Gauss–Jordan até a forma escalonada reduzida por linhas (RREF) e, por fim, classificar o sistema e extrair a solução.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma matricial e a matriz aumentada:
(a) Forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}:
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}.
(b) Matriz aumentada [A\mid \mathbf{b}]:
[A\mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \mid & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \mid & -3\\\\ 1 & -2 & 0 & 1 & \mid & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 & \mid & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
  1. Pivot em a_{11}=1.
    R2 ← R2 −  2\cdotR1, R3 ← R3 − R1, R4 ← R4 −  5\cdotR 12. Pivot em a_{22}=1 (nova R2).
    R1 ← R 1+ R2, R3 ← R 3+ R2, R4 ← R4 −  5\cdotR 23. Pivot em a_{33}=-4 (nova R3). Normalizamos R3 e eliminamos na coluna 3:
    R3 ← (−1/4)·R3, R1 ← R 1+2\cdotR3, R2 ← R 2+3\cdotR3, R4 ← R4− 11\cdotR 34. Pivot em a_{44}=-\tfrac32 (nova R4). Normalizamos R4 e eliminamos na coluna 4:
    R4 ← (−2/3)·R4, R3 ← R3−\tfrac 12\cdotR4, R2 ← R 2+\tfrac 12\cdotR4.
Após essas operações chegamos à forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 4

A RREF da matriz aumentada é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & -1 \end{pmatrix}.
Dessa forma, lemos diretamente
x = 0,\quad y = -1,\quad z = 4,\quad w = -1.

Passo 5

Como a RREF é a matriz identidade à esquerda, o sistema é consistente e determinado (única solução). O conjunto-solução é
\{(x,y,z,w) = (0,\,-1,\,4,\,-1)\}.

Resposta

(a) \displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 2 & -1 & -1 & 0\\\\ 1 & -2 & 0 & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}4\\\ -3\\\ 1\\\ 5\end{pmatrix}. (b) [A\mid \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 1 & \mid & 4\\\\ 2 & -1 & -1 & 0 & \mid & -3\\\\ 1 & -2 & 0 & 1 & \mid & 1\\\\ 5 & 0 & 1 & -1 & \mid & 5 \end{pmatrix}.
(c) A RREF de [A\mid\mathbf{b}] é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & -1 \end{pmatrix}.
(d) O sistema é consistente e determinado (única solução), com
(x,y,z,w) = (0,\,-1,\,4,\,-1).

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