Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=4 \\\\ 2 x+y+z=3 \\\ x-2 y-3 z=0 \\\ x+z=3 \end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear em três incógnitas x,y,z e quatro equações:
\begin{cases} x+2y=4,\\\\ 2x+y+z=3,\\\ x-2y-3z=0,\\\ x+z=3. \end{cases}
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss–Jordan para classificar o sistema e encontrar (ou não) sua solução. Vamos usar operações elementares sobre linhas da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\,\mathbf{x}=\mathbf b, em que
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & -3\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}4\\\ 3\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz aumentada [A\mid b] é
[A\mid b] = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4\\\\ 2 & 1 & 1 & 3\\\\ 1 & -2 & -3 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right).

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna, usando
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-R_1,\quad R_4\leftarrow R_4-R_1.
Fica
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4\\\\ 0 & -3 & 1 & -5\\\\ 0 & -4 & -3 & -4\\\\ 0 & -2 & 1 & -1 \end{array}\right).

Passo 5

Agora usamos o pivô -3 em R_2 para criar um 1 e zerar as outras entradas da coluna 2:
R_2\leftarrow -\tfrac13\,R_2,\quad R_1\leftarrow R_1-2R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+4R_2,\quad R_4\leftarrow R_4+2R_2.
O resultado é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac23 & \tfrac23\\\\ 0 & 1 & -\tfrac13 & \tfrac53\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac13 & \tfrac{7}{3} \end{array}\right).

Passo 6

Para o pivô da terceira coluna, trocamos R_3\leftrightarrow R_4 e em seguida fazemos
R_3\leftarrow 3\,R_3,\quad R_1\leftarrow R_1-\tfrac23\,R_3,\quad R_2\leftarrow R_2+\tfrac13\,R_3,\quad R_4\leftarrow R_4+\tfrac{13}{3}\,R_3.
Obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 & 7\\\\ 0 & 0 & 0 & 33 \end{array}\right).

Passo 7

A última linha diz
0x+0y+0z=33,
que é uma contradição 0\neq33. Logo o sistema é inconsistente e não possui solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não tem solução.

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