Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x-2 y+z=0 \\\\ 2 x+y-2 z=1 \\\ x+z=2 \\\ x-2 y-z=-3 \end{array}\right.

Passo 1

Temos um sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z. O conteúdo é resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss–Jordan. Vamos escrever o sistema em forma matricial, montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para obter a forma escalonada reduzida por linhas e, por fim, classificar o sistema e encontrar sua solução.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\,x=b, onde
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\\\ 2 & 1 & -2 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}
e x = (x,y,z)^{\mathsf{T}}, b = (0,1,2,-3)^{\mathsf{T}}.
A matriz aumentada correspondente é
[A\!\mid\!b] = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & \vline & 0 \\\\ 2 & 1 & -2 & \vline & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & \vline & 2 \\\\ 1 & -2 & -1 & \vline & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada:
  1. Usando o pivô da primeira linha, fazemos
    R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,
    R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
    R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
  2. Com o pivô da segunda linha (na posição (2,2)), fazemos
    R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{5}\,R_2.
  3. Permutamos R_3 e R_4, e então usamos o pivô da nova terceira linha dividindo
    R_3 \leftarrow -\tfrac12\,R_3.
  4. Eliminamos a entrada abaixo desse pivô com
    R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{8}{5}\,R_3,
    e as entradas acima com
    R_1 \leftarrow R_1 - R_3,
    R_2 \leftarrow R_2 + 4\,R_3.
  5. Finalmente normalizamos a segunda linha com
    R_2 \leftarrow \tfrac{1}{5}\,R_2,
    e eliminamos acima do pivô com
    R_1 \leftarrow R_1 + 2\,R_2.
O resultado em forma escalonada reduzida por linhas é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & \tfrac{13}{10} \\\\ 0 & 1 & 0 & \vline & \tfrac{7}{5} \\\\ 0 & 0 & 1 & \vline & \tfrac{3}{2} \\\\ 0 & 0 & 0 & \vline & -\tfrac{4}{5} \end{pmatrix}.
Na última linha temos a equação 0x+0y+0z=-\tfrac{4}{5}, ou seja 0=-\tfrac{4}{5}, que é uma contradição. Logo o sistema é incompatível e não admite solução.

Resposta

O sistema é incompatível e o conjunto solução é vazio: \varnothing.

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