Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x-3 y+2 z=1 \\\ x+y-z=1 \\\\ 3 x-5 y+3 z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x - 3y + 2z = 1,\\\ x + y - z = 1,\\\\ 3x - 5y + 3z = 3, \end{cases}
usando eliminação de Gauss. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular representação matricial e escalonamento de matrizes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A x = b. Definimos:
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz aumentada [A\mid b] é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -5 & 3 & 3 \end{array}\right].

Passo 4

Aplicamos as operações R_2\gets R_2 - R_1 e R_3\gets R_3 - 3R_1, obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 1\\\\ 0 & 4 & -3 & 0\\\\ 0 & 4 & -3 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Continuamos para a forma reduzida:
  1. R_2\gets \tfrac14 R_2
  2. R_1\gets R_1 + 3R_2
  3. R_3\gets R_3 - 4R_2
Isso leva à forma escalonada reduzida
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac14 & 1\\\\ 0 & 1 & -\tfrac34 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Da forma reduzida vemos que há duas equações pivô para três variáveis, logo z é livre. Seja z = t. Então
y - \tfrac34 z = 0 \implies y = \tfrac34\,t, \quad x - \tfrac14 z = 1 \implies x = 1 + \tfrac14\,t.
O sistema é consistente e indeterminado (infinitas soluções).

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
(b)
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 3 & -5 & 3 & 3 \end{array}\right].
(c) Forma escalonada reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\tfrac14 & 1\\\\ 0 & 1 & -\tfrac34 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
(d) O sistema é consistente indeterminado. O conjunto de soluções é
\{(x,y,z) = (1 + \tfrac14\,t,\;\tfrac34\,t,\;t)\mid t\in\mathbb R\}.

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