Para cada um dos sistema de equações lineares 10 à 17, faça o que se pede em cada um dos items abaixo:
(a) Escreva o sistema na forma matricial.
(b) Escreva a matriz aumentada que representa o sistema.
(c) Indicando as operações elementares usadas em cada etapa, obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada.
(d) Classifique o sistema linear e obtenha o conjunto solução do sistema.
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-z=2 \\\\ 2 x-3 y+z=0 \\\\ 4 x+y-z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - z = 2,\\\\ 2x - 3y + z = 0,\\\\ 4x + y - z = 4, \end{cases}
e pede (a) forma matricial, (b) matriz aumentada, (c) forma escalonada reduzida por linhas via operações elementares e (d) classificação e solução. Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan.

Passo 2

A forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b} é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 2 & -3 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix},\quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 4\end{pmatrix}.
A matriz aumentada correspondente é
[A\,|\,\mathbf{b}] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & -3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & -7 & 3 & -4 \end{pmatrix}.
Em seguida R_3 \leftarrow R_3 - R_2 zera a terceira linha:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & -7 & 3 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para chegar à forma escalonada reduzida, fazemos primeiro
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{7}R_2 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{4}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Depois R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2, resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{7} & \tfrac{6}{7}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{7} & \tfrac{4}{7}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Esta é a forma escalonada reduzida por linhas.

Passo 5

Da forma reduzida vemos pivôs nas colunas de x e y, e a variável z fica livre. Logo o sistema é compatível indeterminado com infinitas soluções. Tomando z = t, temos
x = \tfrac{6}{7} + \tfrac{1}{7}\,t,\quad y = \tfrac{4}{7} + \tfrac{3}{7}\,t,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Classificação: sistema compatível indeterminado.
Conjunto solução:
\Bigl\{\bigl(\tfrac{6}{7}+\tfrac{1}{7}t,\;\tfrac{4}{7}+\tfrac{3}{7}t,\;t\bigr)\mid t\in\mathbb{R}\Bigr\}.

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