Utilizando as operações elementares, reduza as matrizes à forma escalonada reduzida por linhas.
A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para levar a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & 2 & 3\\\\ 3 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
à forma escalonada reduzida por linhas (RREF), usando operações elementares: troca de linhas, multiplicação de linha por escalar não nulo e adição de múltiplos de uma linha a outra. O objetivo é obter em cada coluna de pivô um único 1 e zeros nas outras posições dessa coluna.

Passo 2

Escolhemos o pivô \;a_{11}=1. Usamos ele para zerar as entradas abaixo:
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-3R_1.
Calculando cada linha:
R_2=(2,-1,2,3)-2\,(1,-2,3,-1)=(0,3,-4,5),
R_3=(3,1,2,2)-3\,(1,-2,3,-1)=(0,7,-7,5).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 0 & 3 & -4 & 5\\\\ 0 & 7 & -7 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô \;a_{22}=3. Primeiro normalizamos a linha 2:
R_2\leftarrow \tfrac13 R_2=(0,1,-\tfrac43,\tfrac53).
Em seguida, zeramos acima e abaixo desse pivô:
R_1\leftarrow R_1+2R_2,\quad R_3\leftarrow R_3-7R_2.
Isso dá
R_1=(1,-2,3,-1)+2\,(0,1,-\tfrac43,\tfrac53)=(1,0,\tfrac13,\tfrac73),
R_3=(0,7,-7,5)-7\,(0,1,-\tfrac43,\tfrac53)=(0,0,\tfrac73,-\tfrac{20}3).
Então a matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac13 & \tfrac73\\\\ 0 & 1 & -\tfrac43 & \tfrac53\\\\ 0 & 0 & \tfrac73 & -\tfrac{20}3 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô é \;a_{33}=\tfrac73. Normalizamos a linha 3:
R_3\leftarrow \tfrac37 R_3=(0,0,1,-\tfrac{20}7).
Finalmente, zeramos acima desse pivô:
R_1\leftarrow R_1-\tfrac13 R_3,\quad R_2\leftarrow R_2+\tfrac43 R_3.
Calculando
R_1=(1,0,\tfrac13,\tfrac73)-\tfrac13\,(0,0,1,-\tfrac{20}7)=(1,0,0,\tfrac{23}7),
R_2=(0,1,-\tfrac43,\tfrac53)+\tfrac43\,(0,0,1,-\tfrac{20}7)=(0,1,0,-\tfrac{15}7).

Resposta

\mathrm{RREF}(A)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \tfrac{23}7\\\\ 0 & 1 & 0 & -\tfrac{15}7\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{20}7 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados