Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede duas coisas:
  • Encontrar as raízes da equação característica associada à equação
  • Dizer se a estrutura (sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida
Informação dada:
y^{\prime\prime} + 4y^{\prime} + 4y = 0

Passo 2

Por que procuramos uma “equação característica”? Explicando com calma: para equações lineares de coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções do tipo y(t)=e^{rt}, porque derivadas de e^{rt} são proporcionais a e^{rt} e isso transforma a EDO numa equação algébrica em r.
Se y(t)=e^{rt}, então
y'(t)=r e^{rt},\qquad y''(t)=r^{2} e^{rt}.
Substituindo na equação dada e dividindo por e^{rt} (que nunca é zero), obtemos a equação algébrica chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{rt} em \;y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+4y=0\; obtemos:
r^{2} + 4r + 4 = 0.
Essa é a equação característica. Aqui r é a incógnita (as raízes r determinam os comportamentos exponenciais das soluções).

Passo 4

Resolver a quadrática. Vamos usar primeiro o discriminante. Para uma quadrática ar^{2}+br+c=0 vale
\Delta = b^{2}-4ac,
e as raízes são
r=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
No nosso caso a=1, b=4, c=4. Então
\Delta = 4^{2}-4\cdot 1\cdot 4 = 16-16 = 0.
Como \Delta=0, há uma raiz dupla. Calculando a raiz:
r=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot 1}=\frac{-4}{2}=-2.
Também se pode notar que a quadrática fatoriza como
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0,
confirmando a raiz dupla r=-2.

Passo 5

Interpretação física/matemática da classificação (explicando sem pressa):
  • Se \Delta>0 temos duas raízes reais distintas r_{1},r_{2} → soluções sem oscilações (combinação de exponenciais reais) — chama-se Superamortecida (overdamped).
  • Se \Delta=0 temos uma raiz real dupla r → a solução usa também um fator t: y=(C_{1}+C_{2}t)e^{rt}. Esse caso é chamado Criticamente Amortecida (critical damping).
  • Se \Delta<0 temos raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta → solução oscilatória amortecida e^{\alpha t}(A\cos\beta t + B\sin\beta t) — chama-se Subamortecida (underdamped).

Passo 6

Aplicando a regra acima ao nosso caso: encontramos \Delta=0 e raiz dupla r=-2. Portanto o sistema é Criticamente Amortecido. A forma geral da solução (útil para a prova) é
y(t) = (C_{1} + C_{2}\,t)e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Raízes: r=-2 (raiz dupla)
Classificação: Criticamente Amortecida

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