Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e pede duas coisas:
- Encontrar as raízes da equação característica associada à equação
- Dizer se a estrutura (sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida
Informação dada:
Passo 2
Por que procuramos uma “equação característica”? Explicando com calma: para equações lineares de coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções do tipo
, porque derivadas de
são proporcionais a
e isso transforma a EDO numa equação algébrica em
.
Se , então
Se
Substituindo na equação dada e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação algébrica chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
em
obtemos:
Essa é a equação característica. Aqui
é a incógnita (as raízes
determinam os comportamentos exponenciais das soluções).
Passo 4
Resolver a quadrática. Vamos usar primeiro o discriminante. Para uma quadrática
vale
e as raízes são
No nosso caso
,
,
. Então
Como
, há uma raiz dupla. Calculando a raiz:
Também se pode notar que a quadrática fatoriza como
confirmando a raiz dupla
.
Passo 5
Interpretação física/matemática da classificação (explicando sem pressa):
- Se
temos duas raízes reais distintas → soluções sem oscilações (combinação de exponenciais reais) — chama-se Superamortecida (overdamped). - Se
temos uma raiz real dupla → a solução usa também um fator : . Esse caso é chamado Criticamente Amortecida (critical damping). - Se
temos raízes complexas conjugadas → solução oscilatória amortecida — chama-se Subamortecida (underdamped).
Passo 6
Aplicando a regra acima ao nosso caso: encontramos
e raiz dupla
. Portanto o sistema é Criticamente Amortecido. A forma geral da solução (útil para a prova) é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
Raízes:
(raiz dupla)
Classificação: Criticamente Amortecida
Classificação: Criticamente Amortecida