Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
lx+y+z=2 x+2 y+z=3 x+y+(a^2-5) z=a

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x+y+z=2, x+2y+z=3, x+y+(a^2-5)z=a,
com parâmetro a, e pede para classificar os valores de a em que o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções. Para isso vamos estudar o determinante da matriz de coeficientes e, quando este for zero, verificar a consistência das equações.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & a^2-5
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet2&11&a^2-5 -1cdotdet1&11&a^2-5 +1cdotdet1&21&1
Fazendo as contas:
det(A) =(2(a^2-5)-1) -l((a^2-5)-1r) +(1-2) =a^2-6

Passo 3

Se det(A)neq0, ou seja, a^2-6neq0 (isto é, aneqpmraiz6), então a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem solução única.

Passo 4

Se det(A)=0, então a^2-6=0 e a=pmraiz6. Nesse caso o terceiro coeficiente de z vale a^2-5=1, e as duas primeiras equações tornam-se
x+y+z=2 e x+y+z=a
Como o lado esquerdo é o mesmo, para o sistema ser consistente precisamos de 2=a. Mas nem raiz6 nem -raiz6 são iguais a 2, logo o sistema fica inconsistente e não tem solução.

Resposta

Para aneqpmraiz6: solução única.
Para a=pmraiz6: sem solução.
Não existem valores de a que gerem infinitas soluções.

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