Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear
x+y+z=2, x+2y+z=3, x+y+(a^2-5)z=a,
com parâmetro a, e pede para classificar os valores de a em que o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções. Para isso vamos estudar o determinante da matriz de coeficientes e, quando este for zero, verificar a consistência das equações.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & a^2-5
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Se det(A)neq0, ou seja, a^2-6neq0 (isto é, aneqpmraiz6), então a matriz de coeficientes é invertível e o sistema tem solução única.
Passo 4
Se det(A)=0, então a^2-6=0 e a=pmraiz6. Nesse caso o terceiro coeficiente de z vale a^2-5=1, e as duas primeiras equações tornam-se
x+y+z=2 e x+y+z=a
Como o lado esquerdo é o mesmo, para o sistema ser consistente precisamos de 2=a. Mas nem raiz6 nem -raiz6 são iguais a 2, logo o sistema fica inconsistente e não tem solução.
Resposta
Para aneqpmraiz6: solução única.
Para a=pmraiz6: sem solução.
Não existem valores de a que gerem infinitas soluções.