Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa A^-1, a matriz adjunta adj(A) e os determinantes de A, de A^-1 e de adj(A) para
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1
O conteúdo necessário envolve cálculo de determinante, cálculo de menores e cofatores para obter adj(A) e depois usar
A^-1 = 1det(A),adj(A),
além das fórmulas
det(A^-1) = 1det(A) e det(adj(A)) = [det(A)]^n-1 com n=3.

Passo 2

Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1&02&1 -0cdotdet!1&00&1 +1cdotdet!1&10&2
Agora
det1&02&1=1cdot1-0cdot2=1, det1&10&2=1cdot2-1cdot0=2,
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det(A)=1cdot1+1cdot2=3

Passo 3

Obtemos os menores e cofatores de A. A matriz dos cofatores C é
C = -1 & -1 & -2 -2 & -1 & -2 -1 & -1 & -1 ,
de onde a adjunta (transposta dos cofatores) é
adj(A) = C^T = -1 & -2 & -1 -1 & -1 & -1 -2 & -2 & -1

Passo 4

Como det(A)=3, a inversa é
A^-1 = 13,adj(A) = 13 1 & 2 & -1 -1& 1 & -1 2 & -2& -1

Passo 5

Usando propriedades de determinantes:
det(A^-1) = 1det(A) = 13, det(adj(A)) = [det(A)]^3-1 = 3^2 = 9

Resposta

det(A)=3, adj(A) = 1 & 2 & -1 -1& 1 & 1 2 & -2& 1 , A^-1 =13 1 & 2 & -1 -1& 1 & 1 2 & -2& 1 ,
det(A^-1)=tfrac13, det(adj(A))=9

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